Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/3/2021 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) ----------- Câu 1. ( 5 , 00 ) a) Chứng minh rằng: 3 3 5 2 13 5 2 13 1 . b) Biết đa thức 4 3 2 4 6 4 x x px qx r chia hết cho đa thức 3 2 3 9 3 x x x . Tính giá trị biểu thức p q r . Câu 2. ( 3 , 50 ) Giải hệ phương trình: 5 5 2 2 10 2 4. xy x y xy x y xy xy Câu 3. ( 2 , 50 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 5 13 x y . Câu 4. ( 3 , 00 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D . Gọi E , F lần lượt là giao điểm của DA với ( O ) và DA với BC ; H là giao điểm của OD với BC . a) Chứng minh tam giác OAH ODA . b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt ( O ) tại K (khác A ). Chứng minh rằng E , H , K thẳng hàng. Câu 5. ( 3 , 00 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 P x y với 2 2 1 1 1 1 1 1 0, 0, x y xy x y x xy y Câu 6. ( 3,00 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, ( I ) là đường tròn nội tiếp. Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của ( I ) với BC , CA , AB . Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF . a) Chứng minh rằng FKB EKC . b) Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của HB , HC với EF . Chứng minh đẳng thức: EK . FP = FK .EQ . c) Chứng minh rằng KD là phân giác của HKI . ---------Hết--------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................;Số báo danh:................................ Chữ kí giám thị 1:..............................;Chữ kí giám thị 2:......................................... 2. Đáp án và thang điểm CÂU 1 5,00 đ a) Chứng minh rằng: 3 3 5 2 13 5 2 13 1 A . 2,50 đ Ta thấy: 3 3 3 10 9 5 2 13 5 2 13 10 9 A A 1,00 đ 2 1 10 0 A A A . 0,50 đ Vì 2 2 1 39 10 0 2 4 A A A nên suy ra 1 0 1. A A 1,00 đ b) Biết thức 4 3 2 4 6 4 x x px qx r chia hết cho thức 3 2 3 9 3 x x x . Tính giá trị biểu thức Q p q r . 2,50 đ Giả sử 4 3 2 4 6 4 x x px qx r 3 2 3 9 3 x a x x x 0,50 đ 4 3 2 3 3 9 9 3 3 . x a x a x a x a 0,50 đ 4 3 1 6 3 9 2 4 9 3 3 3 3. a a p a p q a q r a r 1,00 đ Suy ra 15. p q r 0,50 đ 2 Giải hệ phương trình: 5 5 2 2 10 2 4. xy x y xy x y xy xy 3,50 đ 0, 2 0 xy x y xy . 0,25 đ , 2 , 0 u xy v x y xy u v , hệ phương trình đã cho trở thành 5 5 (1) 2 10 4 (2). u v v u 0,50 đ Từ 10 (2) 4 v u hay 4 10 u v u . Thay vào (1) ta được 0,50 đ 2 2 5 5 10 25 0 5 0 5 2. 2 4 10 u u u u u u v u 1,00 đ Ta được hệ phương trình: 5 5 2 2 2 7 xy xy x y xy x y 0,50 đ 2 1 5 7 2 5 2 7 5 0 5 7 2 7 2 2 2 x y x x x x y x y x x y . 0,50 đ