Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Thuận

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN TOANMATH.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. ( 6,0 điểm ) a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 11 9 y x x trên đoạn 0; 4 . b. Cho hàm số đa thức ( ) y f x có đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 2 2 . y f x x Bài 2. ( 5,0 điểm ) Xét dãy số n u thỏa 1 , u a b * 1 1 , ; n n ab u u n u trong đó , a b là hai số thực dương. a. Chứng minh n u là dãy số giảm khi ; a b b. Tính lim . n u Bài 3. ( 3,0 điểm ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 2 1 3 0 x xy x y m có ba nghiệm phân biệt. Bài 4. ( 2,0 điểm ) Cho hai số nguyên dương k và n sao cho . k n Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp 1, 2,..., . n Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh tổng tất cả các phần tử được chọn bằng 1 1 . k n C Bài 5. ( 4,0 điểm ) Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên O sao cho M khác với các điểm , A B và OM không vuông góc với . AB Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại . C Gọi I là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại . C OC cắt lại I tại điểm thứ hai là . E a. Chứng minh E là trung điểm của ; OC b. Gọi CD là đường kính của . I Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn M di động trên . O ____________________ HẾT ____________________ x y O 1 1 2LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 11 9 y x x trên đoạn 0;4 . b) Cho hàm số đa thức y f x có đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 2 2 y f x x . Lời giải a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;4 . Ta có 2 2 2 11 9 9 x x y x , 1 TM 0 9 KTM 2 x y x . Ta có 0 33, 1 10 10, 4 35 y y y . Vậy 0;4 0;4 min 35, max 10 10 y y . b) Đặt 2 2 2 g x f x x . Ta có 2 2 1 2 2 g x x f x x . Gọi 1 2 3 , , x x x x x x (với 1 2 3 x x x ) là các điểm cực trị của hàm số f x . Từ đồ thị, ta có 1 2 3 1;0 , 0;1 , 1;2 x x x . Ta có 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 3 x x x x x x x x x g x f x x x x x x x x x x x x x x . Xét phương trình (1), ta có 1 1 1 2 1 0 x x nên phương trình (1) vô nghiệm. Xét phương trình (2), ta có 2 1 0 x nên phương trình (2) vô nghiệm. Xét phương trình (3), ta có 3 1 0 x nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Như vậy phương trình 0 g x có ba nghiệm đơn nên hàm số g x có ba điểm cực trị. Câu 2. Xét dãy số n u thỏa * 1 1 1 , , n n ab u a b u u n u ; trong đó , a b là hai số thực dương. a) Chứng minh n u là dãy số giảm khi a b . b) Tính lim n u . Lời giải