Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kon Tum

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM TOANMATH.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số 4 2 2 2 1 f x x mx m . Tìm m f x có ba điểm cực trị và ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn. Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sin 3 3 cos 3 1 0 cos x x x với ;0 . x 2. Giải phương trình 3 1 4 5 1 . 2 2 4 4 3 2 2 1 2 x x y y y x y x y y Câu 3. (5,0 điểm) 1. Một nhóm gồm 9 học sinh một lớp trong đó có ba bạn Việt, Nam và Hùng đi dự của hai bạn Việt và Nam. 2. Cho dãy số n u thỏa 1 2 2 1 2020 5 5 2 6 2 , 1, 2, 3... n n u n n u n n u n . Tính 2 2 lim n n u n . Câu 4. (6,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có , , BC AD a AC BD b AB CD c . 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD theo , , a b c . 2. Biết mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng ABD . Chứng minh rằng cos .cos cos A B C ; với , , A B C là ký hiệu ba góc tương ứng với các đỉnh , , A B C của tam giác ABC . 3. Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S S S a b b c c a . Câu 5. (2,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 2 2 3 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức 2 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c P a b c c ab a b c . ------------------------- HẾT -------------------------HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hàm số 4 2 2 2 1 f x x mx m . Tìm m f x có ba điểm cực trị và ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn. Lời giải 3 4 4 f x x mx 2 4 x x m 2 4 0 x x m 2 0 x x m . 0 m . Ba điểm cực trị là 2 0; 1 A m ; ; 1 B m ; ; 1 C m . 2 ; BA m m ; ;1 BO m . A , B , C và gốc tọa độ 0;0 O tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi 180 B C 90 B (do B C ). . 0 BA BO 2 0 m m 0 1 m m . Vậy 1 m . Câu 2.1: Giải phương trình sin 3 3 cos 3 1 0 cos x x x với ;0 . x Lời giải Trường hợp 1: sin 3 0 x . sin 3 3 cos 3 1 0 cos 2 sin 3 3 cos 3 1 1 sin 3 3 cos 3 1 2 2 6 3 sin 3 sin 2 3 6 18 3 x x x k x x x x x x k x x k Theo đề bài ;0 x và 2 x k nên 13 ; 8 18 x . Trường hợp 2: sin 3 0 x sin 3 3 cos 3 1 0 cos 2 sin 3 3 cos 3 1 1 sin 3 3 cos 3 1 2 2 2 6 3 sin 3 sin 2 3 6 18 3 x x x k x x x x x x k x x k