Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

Mô tả

PH GD&ĐT B XUY N CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018- 2019 TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 1,0 điểm ) . Tìm các số tự nhiên có dạng ab , b iết rằng ( ) ( ) 2 2 ab ba là số chia hết cho 3267 . Câu 2 ( 1,0 điểm ) . Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn 3 3 p a b = ( với , a b là hai số nguyên dương phân biệt ). Chứng minh rằng nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ. Câu 3 ( 1,0 điểm ) . Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 = + + + + . Chứng minh rằng x 5 1 = + . T tính giá trị biểu thức ( ) 2 2 2 2 x 2x 4x 8x 2018 A= x 2x 3 + + Câu 4 ( 1,0 điểm . Cho biểu thức 5 7 11 x 13 6 x 5 B= : x 1 2 x 3 2x x 3 7 x 7 x + + + + , với 25 x 0; x ; x 1 36 > . Rút gọn biểu thức B và tìm số thực x thức B nhận giá trị nguyên. Câu 5 ( 1,0 điểm ) . Giải phương trình 7 x 7 x 25 5 7 x 16 = + + . Câu 6 ( 1,0 điểm ) . Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 + + = . Chứng minh bất đẳng thức sau: xy yz zx 3 xy z yz x zx y 2 + + + + + . Câu 7 ( 1,0 điểm ) . Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn , gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH v uông góc với đường thẳng AB tại H . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( M không trùng với điểm B) , trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN . Chứng minh rằng MOB OND # . Câu 8 ( 1,0 điểm ) . Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và trực tâm H . Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho 0 BMC 90 = . Chứng minh rằng MBC ABC HBC S S .S = . Câu 9 ( 1,0 điểm ) . T gi trị c biểu thức 2 2 2 2 C sin 1 sin 2 sin 3 ... sin 89 = + . Câu 10 ( 1,0 điểm ) . Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3,..., 625 , c họn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số phương. ----------- Hết ----------- Thí sinh không được sử dụng t v Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh:................... ..............HDC_HSG Toán 9 Trang 1/5 PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CH C SINH GI I L P 9 NĂM H C 2018-2019 HƯỚ NG D TOÁN ( Hư ng d n ch m g m 0 5 trang) I) Hướ ng d 1) Hướ ng d n ch m ch nêu m t cách gi i v i nh n, n không theo cách nêu trong hướ ng d n ch s m t ng ph nh. 2) Vi c chi ti m (n ng d n ch m ph o không làm sai l ch hướ ng d n ch m và ph c th ng nh t th c hi n v i t t c giám kh o. 3) Điểm toàn bài tính đế n 0,25 m. Sau khi c gi nguyên k t qu . 4) V c n u h c sinh không v hình ph không cho điể m ph II) Đáp án và thang điểm: Câu 1 (1,0 điể m) . Tìm các s t nhiên có d ng ab , bi t r ng ( ) ( ) 2 2 ab ba là s chia h t cho 3267 . N i dung trình bày m ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 (10a ) (10 ) 99( ) ab ba b b a a b = + + = 0,25 ( ) ( ) 2 2 ab ba chia h t cho 3267 33.99 = nên 2 2 ( )( ) a b a b a b = + chia h t cho 33 0,25 T 1 9, 1 9 a b và ( )( ) 33 a b a b + suy ra a b = ho ( ) ( ) ; 7; 4 a b = ho ( ) ( ) ; 4;7 a b = 0,25 T tìm đư 11; 22;33; 44; 47;55;66;74;77;88;99 th 0,25 Câu 2 (1,0 điể m) . Cho p là m t s nguyên t th a mãn 3 3 p a b = (v i , a b là hai s nguyên dương phân bi t). Ch ng minh r ng n u l y 4 p chia cho 3 và lo i b ph c m t s là bình phương củ a m t s nguyên l . N i dung trình bày m Ta có 3 3 2 2 ( )( ) p a b a b a ab b = = + + là s Mà , a b là các s nguyên dương phân biệ t nên tích 2 2 ( )( ) a b a ab b + + là s nguyên t khi và ch 1 a b = và 2 2 a ab b + + là s 0,25 1 a b = + 3 3 2 ( 1) 3 3 1 p b b b b = + = + + 0,25 ( ) 2 2 4 12 12 4 3 4 4 1 1 1( 3) p b b b b mod = + + = + + + 0,25 N u l y 4 p chia 3 và lo i b ph c s ( ) 2 2 4 4 1 2 1 A b b b = + + = + hi n nhiên là s chính phương (đpcm). 0,25 Câu 3 (1 ,0 điể m) . Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 = + + + + . Ch ng minh r ng x 5 1 = + . T bi u th c ( ) 2 2 2 2 x 2x 4x 8x 2018 A= x 2x 3 + + N i dung trình bày m ( ) 2 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 x 8 2 4 10 2 5 = + + + + = + + 0,25