Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn – Nghệ An

Mô tả

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN TR THPT NGUY XUÂN ÔN CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN TOÁN 11 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6 ,0 điểm ) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) ( ) ( ) 3 sin 2 1 2sin 1 sin 3 cos 2 sinx 0 x x x x + + = b) 3 2 3 2 20 6 17 5 3 6 3 5 ( 3 8) 2 5x 3 5 12 x y x x y y x y x x y x = + + + = + + Câu 2 (5,0 ) a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45 . b) Cho dãy số ( u R n R ) xác định bởi ( ) 1 3 2 1 2 ( 1) 3 2 2 1 , * n n u n u u n n n n N n + = + = + + + + Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( u R n R ). Câu 3 ( 5,0 ) a) Cho t di ABCD, trên hai c AD và BC l lượt l các i M và N sao cho 1 D 2 AM CN M NB = = . Hai i E, F l lượt thu BM và DN sao cho / / EF AC . Tính t s EF AC . b) Cho hình chóp S.ABCD có / / AD BC và AD 2 BC = . Gọi O là giao của AC và BD, song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H. Chứng minh rằng: 2( ) 4 9 MF ME MG MH SO + + + = . Câu 4 (2 ,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn có (3; 1) M là trung điểm cạnh BC, E(1;3) . Điểm D(4; 2) qua tâm tròn ngoại tiếp tam giác ABC, C thuộc thẳng d: 2 3 0 x y + = và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Câu 5 ( 2,0 điểm ) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( ) 3 3 3 a b ac(a c) bc(b c) 5abc P a b c + + + = + + . ... Hết ... Học sinh không được sử dụng tài liệu ......... Giám thị không giải thích gì thêm. CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2019 - 2020 ( trang ) Câu Nội dung 1a) ( ) ( ) 3 sin 2 1 2sin 1 sin 3 cos 2 sinx 0 x x x x + + = 3.0 Ta có ( ) ( ) (1) 3 sin 2 1 (2sin 1) 2cos 2 sin cos 2 0 3 sin 2 1 (2sin 1) cos 2 (2sin 1) 0 x x x x x x x x x + + = + + = 1.0 ( ) ( ) 2sin 1 0 2sin 1 3 sin 2 1 cos 2 0 3 sin 2 cos 2 1 0 x x x x x x = + + = + + = 0.5 * 2 1 6 2sin 1 0 sinx 5 2 2 6 x k x x k = + = = = + 0.5 * 3 1 1 3 sin 2 cos 2 1 0 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 6 6 6 sin 2 sin 7 6 6 2 2 6 6 2 x x x x x k x k x x k x k + + = + = − + = − + = − + + = + = + = + 0.75 Vậy PT đã cho có nghiệm 2 , , , 6 6 2 x k x k x k k = + = − + = + 0.25 1b) 3 2 3 2 20 6 17 5 3 6 3 5 (1) ( 3 8) 2 5x 3 5 12 (2) x y x x y y x y x x y x = + + + = + + 3.0 K: 2 6 0 5 0 2 5 0 x y x x + t 2 2 6 6 5 5 a x x a y b b y = = = = Thay vào (1) ta có 2 2 3 3 2 2 2 2 20 17 3(6 ) 3(5 ) 3 2 3 2 ( ) 3( ) 2 0 ( Do 3( 3 ) 2 0) a b a a b b a a b b a b a ab b a b a ab b = + = + + + + = = + + + > 6 5 1 x y y x = = thế vào (2) ta có 1.0 3 2 3 2 3 2 3 2 ( 3 3 8) 2 5 3 5( 1) 12 ( 3 5) 2 5 3 5 2 5 x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + + + = + + + 0,25