Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Mô tả

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. a) Cho dãy số n x 1 1 x và 1 2 3 n n n x x x với mọi * . n Chứng minh rằng dãy số n x có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. b) Tìm tất cả các hàm số xác định, liên tục trong khoảng 0; và thỏa mãn: 2 2 2 2 3 3 x x x f x f x x với mọi 0. x Câu 2. a) Cho số tự nhiên 2 a thỏa mãn 1 a có ước nguyên tố lẻ . p Chứng minh rằng 2 2 1 . p a p b) Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên n sao cho 2019 1 . n n Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH . Đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , . D E F A có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K . Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P . Các DK và PK cắt đường tròn A lần lượt tại Q và T khác . K a) Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm , , Q A P thẳng hàng. b) Đường thẳng DK cắt đường tròn I tại điểm thứ hai là X . Chứng minh rằng ba , , AX EF TI c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn . I Câu 4. Cho P x là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q x với hệ số thực sao cho 2 ( ) P x P Q x với mọi . x Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P x Câu 5. Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago , P Q bất kỳ, ta luôn tìm được m tập Pytago 1 2 , ,..., ( 2) m P P P m sao cho 1 , m P P P Q và 1 i i P P với mọi 1 1. i m ------------ HẾT ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ......... ........................SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN MÔN: TOÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày 1 a) Cho dãy số n x 1 1 x và 1 2 3 n n n x x x với mọi * . n Chứng minh rằng dãy số n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Tìm tất cả các hàm số xác định và liên tục trong khoảng 0; sao cho 2 2 2 2 , 0 3 3 x x x f x f x x x 3,0 a Xét số b >0 là nghiệm của phương trình 2 3 1. 3 b b b b Dễ thấy 0, 1 n x n nên ta có: 1 2 2 1 0 3 3 3 3 9 n n n n n n x x b b x b x b x b x b 1,0 Suy ra 2 1 1 1 1 1 1 0 9 9 9 n n n n x b x b x b x b Do 1 1 lim 0 9 n x b nên theo nguyên lý kẹp suy ra lim 3 1 n x b 1,0 b Ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x x x x x f x f f x f x x x x x Suy ra 2 2 , 0 3 3 x x f x x f x x x 2 , 0 (1) 3 x g x f x x g x g x x 0,5 Chọn 0 a tùy ý, xét dãy n x xác định bởi * 1 1 2 ; , 3 n n n x x a x n x . Hoàn toàn tương tự phần a) thì lim 3 1 n x b Từ (1) suy ra * 1 2 ... , n g a g x g x g x n 0,25 Do hàm g x liên tục trên 0; nên lim lim 3 1 n n g a g x g x g c Suy ra g x c hay ( ) f x x c với mọi 0. x 0,25 (Đáp án có 05 trang)