Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Nam Trực – Nam Định

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức B = 3 2 2 3 1 - x 1 - x - x : 1 - x 1 - x - x + x (với x 1 ) 1) Rút gọn biểu thức B. 2) Tìm giá trị của x để B < 0. 3) Tính giá trị của biểu thức B với x thỏa mãn: x - 4 = 5 Bài 2: (4,0 điểm ) 1) Giải phương trình: 4 3 2 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 2 + 3xy – 2y 2 = 7 Bài 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 4 5 + 9 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2 2 2 2 8 6 2x + + 3y + x y Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một 1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. 2) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi. 3) Kẻ DH BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ PD . Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm 1) Tính tổng ' ' ' HA HB HC + + ' ' AA' BB CC 2) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM và IN theo thứ tự là phân giác của AIC và AIB . Chứng minh : AN.BI.CM = BN.IC.AM Bài 6 : (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa. PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Bài Nội dung chính 1 (4,0đ) 1) Với x 1 thì: 2 2 2 2 2 2 2 1 - x 1 + x A = 1 + x + x - x : 1 + x 1 - x + x - x 1 + x 1 - x 1 + x = x + 1 : 1 + x 1 - 2 x + x 1 - x = x + 1 : = x + 1 1 - x 1 - x 0,5 1,0 0,5 2) Với x 1 thì B < 0 khi và chỉ khi 2 x +1 1-x 0 (1) Vì 2 x +1 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 0 1 x 1 x V B < 0 khi và ch 0,25 0,5 0,25 3) Với x - 4 = 5 <=> x = -1; x = 9 Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x 1 Tại x = 9 thỏa mãn điều kiện x 1 . Tính được B = - 656 0,5 0,25 0,25 2 (4,0đ) 1) 4 3 2 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 0, ta 2 2 2 2 3 1 x + 3 x + 4 + + = 0 x x 1 1 x 3 x 4 0 x x 1 x x = y thì 2 2 1 x x = y 2 2 + 3y + 2 = 0 (*) Giải (*) được y 1 = -1 ; y 2 = -2 Với y 1 = -1 ta có 1 x x = -1 nên x 2 + x + 1 = 0. PT vô nghiệm Với y 1 = -2 ta có 1 x x = -2 nên 2 x+1 0 , do đó x = -1 Vậy S= 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2) Ta có 2x 2 + 3xy – 2y 2 = 7 2 2 2 4 2 7 2 ( 2 ) ( 2 ) 7 (2 )( 2 ) 7 x xy xy y x x y y x y x y x y Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7 Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau: 2x - y 1 - 1 7 - 7 x+2y 7 - 7 1 - 1 x 1,8(lo - 1,8(lo 3 - 3 y 2,6(lo - 2,6(lo - 1 1 0,5 0,5 0,75