Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT Sông Lô – Vĩnh Phúc

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8 CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút (không k Câu 1. Cho biểu thức A = 3 2 2 1 2 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A . b. Tìm x A nhận giá trị là số âm. c. Tìm giá trị nguyên của x x +2). A nhận giá trị là số nguyên. Câu 2. a. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k ( k + 1)( k + 2) (với k N * ). Chứng minh rằng: 4 S + 1 là bình phương của một số tự nhiên. b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3 x 2x 3x 2 y . Câu 3. a. Giải phương trình sau: 2 3 2 1 0 x x x b. Xác định giá trị của m 3 2 ( 2) 8( ) 4 m x x m m có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1. c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 16 4 x y z Câu 4. Cho tam giác ABC a , M là trung điểm của BC . Góc 0 60 xMy quay quanh M cố định sao cho hai tia Mx , My cắt AB , AC lần lượt tại D và E . Chứng minh rằng: a. Tam giác BDM CME và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của xMy . b. DM là phân giác của BDE . c. . . . BD ME CE MD a DE . d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M . Câu 5. Trong bảng ô vuông kích thước 8 8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có . -------------- HẾT -------------- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ........................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: ........ PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 – 2016 Môn Toán – Lớp 8 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho -Câu 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Bài Nội dung 1a x Rút gọn được A = 1 1 x 0,25 0,75 1b A < 0 x -1 < 0 x <1 i ĐKXĐ, ta đư x < 1 0,25 0,25 1c Ta có: ( x +2). A = 2 1 x x = 3 1 1 x Lập luận để suy ra: 0; 2; 2; 4 x 0,25 0,25 2a Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1 4 k (k + 1)(k + 2). 4= 1 4 k(k + 1)(k + 2). ( 3) ( 1) k k = 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1 4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1 = (k 2 + 3k)(k 2 + 3k +2) + 1 = (k 2 + 3k + 1) 2 Mà k * nên k 2 + 3k + 1 * . nên suy ra đpcm. 0,25 0,25 0,25 0,25 2b Ta có 2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8 (1) 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16 (2) Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x=1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1; 0) (1; 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 3a 2 3 2 1 0 x x x (1) + Nếu 1 x : (1) 2 1 0 1 x x (thỏa mãn điều kiện 1 x ). + Nếu 1 x : (1) 2 2 4 3 0 3 1 0 1 3 0 x x x x x x x 1; 3 x x (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là 1 x . 0,25 0,25 0,25 0,25 3b Ta có 3 2 ( 2) 8( ) 4 m x x m m 3 2 ( 8) 2 ( 2 4) m x m m m