Lý thuyết, các dạng toán và bài tập mệnh đề và tập hợp

Mô tả

Chương 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ I. Tóm tắt lí thuyết 1. Mệnh đề Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai . Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng . Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai . 4 ! Những điểm cần lưu ý. Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề. Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”. Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề. Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học. 2. Mệnh đề chứa biến Những câu khẳng định mà tính của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề chứa biến. Ví dụ: Cho P ( x ) : x > x 2 với x là số thực. Khi đó P ( 2 ) là mệnh đề sai, P 1 2 là mệnh đề đúng. 3. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P . Mệnh đề “ Không phải P P và kí hiệu là P . 1112 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P P sai, nếu P sai thì P Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P : “ 2 là số chẵn”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là P : “ 2 không phải là số chẵn” hoặc “ 2 là số lẻ”. 4. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề “Nếu P thì Q mệnh đề kéo theo . Kí hiệu là P Q . Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P Q sai. P Q còn được phát biểu là “ P kéo theo Q P suy ra Q P nên Q 4 ! Chú ý Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: P Q . Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q , hoặc Q là điều kiện cần để có P . Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P , Q . Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề đúng. Vì ở P : “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q : “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai. Cho mệnh đề kéo theo P Q . Mệnh đề Q P mệnh đề đảo của mệnh đề P Q . 4 ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng. 5. Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q Kí hiệu là P Q Mệnh đề P Q P Q và Q P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P Q P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) P Q còn được phát biểu là “ P khi và chỉ khi Q P tương đương với Q P là điều kiện cần và đủ để có Q 4 ! Hai mệnh đề P , Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng. 6. Các kí hiệu và Kí hiệu (với mọi): x X , P ( x ) x X : P ( x ) Kí hiệu (tồn tại): x X , P ( x ) x X : P ( x ) 4 ! Chú ý Phủ định của mệnh đề x X , P ( x ) x X , P ( x ) Phủ định của mệnh đề x X , P ( x ) x X , P ( x )