Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Mô tả

2 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Giải phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó. 2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên. Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,... để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết các h giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là: Phương pháp dùng tính chất chia hết Phương pháp xét số dư từng vế Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp dùng tính chất của số chính phương Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT Bài toán 1. Gi Hướ ng d n gi i Gi sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau). thay vào phương trình ta đượ c Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho V (x, y) = (53 17t, 3t) với t là số nguyên tùy ý. ( ) 3x 17y 159 1 + = 17y 3 y 3 ( ) y 3t t Z = 3x 17.3t 159 x 17t 53. + = + = ( ) x 53 17t t Z y 3t = = THCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C3 Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1). Hướ ng d n gi i - Phương pháp 1: Ta có và nên (vì (2,3) = 1). thay vào (1) ta được: V - Phương pháp 2: Từ (1) , Mà (13,2) = 1 V Chú ý: Phương trình có dạ ng v nguyên. * Phương pháp giả i: - Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử. - Phương pháp 2: Khử n, s dụng tính chia hết tìm điều kiện để m trở thành số nguyên. Bài toán 3. Gi . Hướ ng d n gi i Ta có Ta phải biến đổi tiếp phân số sao cho hệ số c Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23 Từ , Để , do (7,23) = 1. = = 9 y 23t (t Z) y 9 23t V 2x 13y 156 + = 13y 13 156 13 2x 13 x 13 x 13k (k Z) = y 2k 12 = − + x 13k (k Z). y 2k 12 = = − + 156 13y 13y x 78 2 2 = = 13y x Z Z 2 y 2 y 2t(t Z) x 78 13t = = x 78 13t (t Z). y 2t = = − ax by c + = 23x 53y 109 + = 109 53y 23(4 2y) 17 7y 17 7y x 4 2y 23 23 23 + = = = + 17 7y 23 17 7y 17 7y 46 46 7(9 y) 46 7(9 y) 2 23 23 23 23 + = = = − + 7(9 y) x 2 2y 23 = + 9 y x Z Z 23 x 9 23t (t Z). y 53t 16 = = THCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C