Đề thi KSCL học sinh giỏi Toán 11 năm học 2016 – 2017 cụm thi THPT Yên Thành – Nghệ An

Mô tả

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỤM THI THPT YÊN THÀNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Câu 1 ( 6,0 điểm ) . a) Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2 sin 3 os sin 1 cos 3cos 1 0. 2 x x c x x x + + = b) Giải bất phương trình : 2 2 2 ( 1)( 2 2 3) 2 2 1 x x x x x x + + + + + > + Câu 2 ( 3,0 điểm ). Cho đa giá c l i (H) c ó 22 c a ̣ nh. G o ̣ i X l à t p h p c á c tam gi á c c ó ba đı̉ nh l à ba đı̉ nh c ủ a (H). Ch o ̣ n ng u nhiên 2 tam gi á c trong X, t nh x á c su ch o ̣n đươ ̣ c 1 tam gi á c c ó 1 c a ̣ nh l à c a ̣ nh c ủa đa giá c (H) v à 1 tam gi á c không c ó c a ̣ nh n à o l à c a ̣ nh c ủa đa giá c (H). Câu 3 ( 2,0 điểm ) . Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : 1 2 1 2 1 2 ( 1) 2 ... ( 1) , 1, . n n u n n u u u n u n n = = + + + > . Tìm 3 9 lim ( ). 2 n n n u . Câu 4 ( 5,0 điểm ) . Cho hình l . Các điểm H, K lần lượt là trung điểm của AD, C’D’. Điểm M thuộc đoạn BC’, N thuộc đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 0 45 . a) Chứng minh rằng: AK BH ; b) Chứng minh rằng: (2 2) MN a . Câu 5 ( 2,0 điểm ). Trong mặt phẳng O xy , cho tam giác ABC; giác trong góc . Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N ( M, N khác A và D ) sao cho ABN CBM . Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm F; biết phương trình FA là 8 0 x y + = và ( 3; 1), ( 4; 2) M B . Xác định tọa độ điểm A biết đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC đi qua điểm (0; 22) Q . Câu 6 (2,0 điểm). Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 ab bc ca + + = . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 3 3 . 2 2 2 8 a b c b c c a a b + + + + + + + + ................ Hết ................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Họ và tên thí sinh .......................................................... Số báo danh ..........................................HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG CỤM THPT YÊN THÀNH (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung 1. (6,0đ ) a. 3,0 4 2 2 2(s inx 3) os 2sin . os 6 cos 2 0 2 2 2 x x x Pt c x c + + = 0,5 4 2 (s inx 3) os os (s inx 3) 1 0 2 2 x x c c + + + = 0,5 2 2 os (s inx 3)( os 1) 1 0 2 2 x x c c + + = 0,5 2 3 2 1 (s inx 3) sin 1 0 sin 3sin 4 0 4 x x x + + = + = 0,5 s inx 1 s inx 2 ( ) vn = = − 0,5 2 ( ) 2 x k k = + 0,5 b. 3,0 2 2 2 2 2 ( 2) 1 2 2 3 ( 2) a x a b a x b x x b = + = = + + 0,5 BPT trở thành: 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 2 2 b a b a a b a b + + + > 1,0 2 ( )( 1) 0 b a b a + + > 0,5 2 2 2 3 2 b a hay x x x > + + > + 0,5 1 2 x > − . Vậy tập nghiệm của bpt là: 1 ( ; ) 2 S = − +∞ 0,5 2. (3,0đ) +) Đa gi ác l ó 22 c a ̣nh nên c ó 22 +) S tam gi á c c ó 3 đı̉ nh l à ba đı̉ nh c ủa đa giá c (H) l à 3 22 C 1540. = 0.5 +) S ủa không gian m l à 2 1540 n( ) C 1185030 = 0,5 Số tam gi ác c ó m a ̣nh l à c a ̣nh c ủ a đa (H) l à 22.18 = 396 +) Số tam giá c c ó hai c a ̣ nh l à c a ̣ nh c ủ a đa (H) l à 22 0,5 Số tam gi ác không c ó c a ̣nh n ào l à c a ̣nh c ủ a đa (H) l à: 1540 - 396 - 22 = 1122 +) G o ̣i A là biến cố ác đươ ̣ c ch o ̣ n c ó m t tam gi á c c ó 1 c a ̣ nh l à c a ̣ nh c ủ a (H) v à 1 tam gi ác không c ó c a ̣nh n ào l à c a ̣nh c ủa (H)" 0,5 S ph n t ủa A l à 1 1 396 1122 n(A) C .C = 0,5 X á c su t c ủ a bi n c A l à 1 1 396 1122 C .C n(A) 748 p(A) n( ) 1185030 1995 = = = 0,5 3. (2,0đ) Ta có: 2 1 3 u = Với 3 n , ta có: 3 1 2 2 ... n n u u nu n u + + + = (1) 3 1 2 1 1 2 ... ( 1) ( 1) n n u u n u n u + + + = (2) 0,5