Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán

Mô tả

THCS.TOANMATH.com FB TR NH BÌNH 1 CÁC BÀI TOÁN B NG TH C, C C TR TRONG ĐỀ CHUYÊN MÔN TOÁN GIAI ĐOẠ N 2009-2019 NĂM HỌ C 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà N i, 2019-2020] Cho x, y là các s th a mãn: 2 2 4x 4y 17xy 5x 5y 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 2 P 17x 17y 16xy L i gi i Ta có: 2 2 2 4x 4y 17xy 5x 5y 1 4 x y 9xy 5 x y 1 t t x y, t 0 , theo b ng th c AM-GM, ta có: 2 2 x y t xy . 4 4 Do đó: 2 2 9 2 2 2 4t t 5t 1 t 4 5 hay 2 2 2 x y . 5 Ta có: 2 2 2 P 17x 17y 16xy 17 x y 18xy 2 2 2 2 x y 25 25 2 2 2 17 x y 18 x y 6 4 2 4 4 4 5 D y ra khi 2 1 x y 5 V y giá tr nh nh t c a P là 6 4 2 Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạ m Hà N i, 2019-2020] Cho các s th i, hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 2 P xy x 2 y 6 13x 4y 26x 24y 46 L i gi i Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P xy x 2 y 6 13x 4y 26x 24y 46 x 2x y 6y 13 x 2x 4 y 6y 46 x 1 1 y 3 9 13 x 1 1 4 y 3 9 46 t a x 1, b y 3 , khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P a 1 b 9 13 a 1 4 b 9 46 a b 9a b 9 13a 13 4b 36 46 THCS.TOANMATH.com FB TR NH BÌNH 2 2 2 2 2 4a 3b a b 6 6 D y ra khi a 0 x 1 0 x 1, y 3 b 0 y 3 0 V y giá tr nh nh t c a P là 6. Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà N i, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏ a mãn: ab bc ca abc 4 1) Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 2) Tìm giá tr nh nh t: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P . 2 a b 4 2 b c 4 2 c a 4 L i gi i 1) Ta có: 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 4 ab bc ca. ng th c cu thi t, các phép bi do đó đẳ ng th c ch ng minh. 2) V ng th c: 2 2 2 2 x y x y (*) 1 1 1 1 x y 4 x y (**) Th t v y: 2 * x y 0 (luôn đúng) 2 2 x y 1 * * x y 4xy x y 0 4xy x y (luôn đúng) Các b ng th c (*), (**) x y ra d L n lượ t áp d ng (*) và (**) ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 a b 4 4 a 2 b 2 a 2 b 2 2 a b 4 Tương tự : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 4 b 2 c 2 4 c 2 a 2 2 b c 4 2 c a 4 C ng theo v ta đượ c: