Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm véctơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Mô tả

Trang 1/30 CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳ ng. Phép cộ ng , trừ vectơ: Quy t m : Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC + = . Quy t c hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD , ta có: D AB A AC + = . Quy t c hình h p: Cho hình h . ' ' ' ' ABCD A B C D , ta có: ' ' AB AD AA AC + + = . Lưu ý: hai vectơ cùng phương : Hai vectơ a và b ( 0 b ) ! : . k a k b = . M chia đoạn thẳ ng AB theo tỉ s k ( 1 k ), điểm O tùy ý. Ta có: . MA k MB = 1 OA kOB OM k = Trung điể m c n th : Cho I là trung điểm của đoạn thẳ ng AB , điểm O tùy ý. Ta có: 0 IA IB + = 2 OA OB OI + = Tr : Cho G là trọng tâm ABC , điểm O tùy ý. Ta có: 0 GA GB GC + + = 3 OA OB OC OG + + = 2. S : Ba vectơ được gọi là đồng phẳ ng n phẳ ng. ba vectơ đồng ph Cho ba vectơ , , a b c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: , , a b c ng ! , : . . m n c m a n b = + Cho ba vectơ , , a b c không đồ n g phẳng, x tùy ý. Khi đó: ! , , : . . . m n p x m a n b p c = + + 3. Tích vô hướng của hai vectơ: Góc giữa hai vectơ trong không gian : Ta có: , AB u AC v = = . Khi đó: ( ) , u v BAC = 0 0 (0 180 ) BAC Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: Cho , 0 u v ( ) . . .cos , u v u v u v = V 0 u = hoặc 0 v = . 0 u v = V , 0 u v , ta có: . 0 u v u v = II. KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng. vectơ với một số ). ng tâm của tam giác. Ví dụ : Cho hình lăng trụ . ABC A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a = , CB b = , ' AA c = . Khẳng định nào sau đây đúng?Trang 2/30 A. 1 2 AM b a c = + B. 1 2 AM a c b = + C. 1 2 AM a c b = + . D. 1 2 AM b c a = + Hướng dẫn : Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1 2 2 AM AB AB = + . Khi đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c = + = + + = + = + + = − + + . Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng ng Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và A , B , C , D tạo thành hình bình hành là: A. OA OC OB OD + = + . B. 0 OA OB OC OD + + + = . C. 1 1 2 2 OA OB OC OD + = + . D. 1 1 2 2 OA OC OB OD + = + . Hướng dẫn : AB CD = hoặc AC BD = . Khi đó A. ( ) OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD AB DC + = + = = = . B. 0 OA OB OC OD + + + = : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD . C. 1 1 2 2 OA OB OC OD + = + 1 1 2 2 OA OC OD OB = 1 2 CA BD = D. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD + = + = = . Vậy chọn A. Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG III. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ 0 a phương của đường thẳ ng d n a song song hoặc trùng với đường thẳ ng d. 2. Góc giữa hai đường thẳng: Cho // ' a a , // ' b b và ' a , ' b cùng đi qua một điểm. Khi đó: ( ) ( ) , ', ' a b a b = Giả s , u v phương của đường thẳng a, b và ( ) , u v = . Khi ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 90 , 180 90 180 a b =  < N // a b hoặc a b thì ( ) 0 , 0 a b = . 3. Hai đường thẳng vuông góc: ( ) 0 , 90 a b a b = . Giả s , u v phương của đườ ng thẳng a, b. Khi đó: . 0 a b u v = Cho // a b . N a c thì b c . Lưu ý : Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN : Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc