Bài toán min – max mũ và logarit

Mô tả

CH 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1. Công th c lôgarit Gi s 0, 1 a a > và các s A, B, N,... > 0 ta có các công th ( ) log log log a a b AB A B = + . M r ng ( ) 1 2 1 2 log ... log log ... log a N a a a N A A A A A A = + + + . log log log a a a A A B B = . H qu 1 log log a N N = − . log .log a a N N = 1 log .log n a a N N n = Công th : Gi s a, b dương và khác 1; , 0 c x > ta có log .log log a b a b c c = và 1 1 log ; log log log a a b a b x x a = = − . 1 log log a a x x = và log .log n a a x n x = . 2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x) trên D( f(x) xác đị nh và liên t c trên D ) Phương pháp giả i - Bướ c 1: Tính ( ) y f x = , tìm t t c các nghi m i x c a phương trình ( ) 0 f x = và các điể m i làm cho ( ) f x không xác đị nh. - Bướ c 2: Trườ ng h p 1: [ ] ; D a b . Tính các giá trị ( ) ( ) ( ) ( ) , , , i i f a f b f x f . V i [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } min min , , , , ; max max , , , i i D i i i i D f x f a f b f x f x a b f x f a f b f x f = = . Trườ ng h p 2: [ ] ; D a b L p b ng bi Chú Giá trị l n nh nh nh t c a hàm s n [ ] ; a b . N u hàm s ( ) y f x = ng bi n v i [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ; ; ; min ; max a b a b x a b y f a y f b = = . N u hàm s ( ) y f x = ngh ch bi n v i [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ; ; ; min ; max a b a b x a b y f b y f a = = . 3. Các b ng th c quen thu c a) B ng th c AM – GM cho hai s th 2 a b ab + .M rộ ng b ng th c AM – GM cho ba s th c d 3 3 a b c abc + + . b) B ng th ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 ab cd a c b d + + + . c) B ng th c ( ) 2 2 2 x y x y a b a b + + + . Ví d 1: Cho ( ) 3 log a m ab = , v i , 1 a b > và 2 log 16 log a b P b a = + . Khi bi u th c P nh nh t thì giá trị c a m b ng A. 2 m = . B. 1 m = . C. 1 2 m = . D. 4 m = . L i gi i: Ta có: ( ) 2 2 16 log 16 log log log a b a a P b a b b = + = + t log a t b = vì , 1 log 0 a a b b t > = > Khi đó 2 2 2 3 16 8 8 8 8 . . 12 P t t t t t t t t = + = + + = . D u b khi 2 8 2 log 2 a t t b t = = = . L i có ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 log log log 1 log 1 3 3 a a a a m ab ab ab b = = = = + = . Ch n B. Ví d 2: Cho x, y là s th a mãn ( ) 2 ln ln ln x y x y + + . Tìm giá trị nh nh t min P c a bi u th c P x y = + . A. min 6 P = . B. min 2 2 3 P = + . C. min 3 2 2 P = + . D. min 17 2 P = + . L i gi i: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ln ln ln ln ln 1 x y x y xy x y xy x y y x x + + + + . Mà , 0 x y > suy ra ( ) 2 1 0 1 0 1 y x x x x > > > . Khi đó ( ) 2 2 1 1 x y x x y x . Do đó, biể u th c ( ) 2 2 2 1 1 x x x P x y x f x x x = + = + = . Xét hàm s ( ) f x trên khoả ng ( ) 1; +∞ , có ( ) ( ) 2 2 2 4 1, 1 1 x x f x x x + = . Phương trình ( ) 2 1 2 2 0 2 4 1 0 x f x x x x > + = = + = .