Bài toán về góc trong không gian

Mô tả

CH 5: BÀI TOÁN V GÓC V 1: GÓC GI NG TH NG 1. ng th ng Trong không gian cho 2 đườ ng th ng a, b b t k . T m m O nào đó ta vẽ 2 đườ ng th ng a b l t song song với a và b. Ta nh n th y r m O thay đổi thì góc giữ a 2 ng th ng a và b không thay đổ i. Do đó ta có định nghĩa: Góc giữa 2 đườ ng th a 2 đườ ng th ng a và b cùng đi qua m 2. Cách xác định góc giữa hai đườ ng th ng xác định góc giữa 2 đườ ng th l m O thu c m ng th i vẽ m ng th ng qua O và song song với đườ ng th ng còn l i. N u u là vecto chỉ phương của đườ ng th là vecto chỉ phương của đườ ng th ( ) u; v = α thì gó c gi ng th ng n u 0 90 và bằ ng 180 n u 90 180 . N u 2 ng th a chúng b ng 0 . Góc giữa 2 đư ờ ng th ng là góc có số 0 90 . 3. Phương pháp tính góc giữa hai đườ ng th ng tính góc giữa hai đườ ng th ng trong không gian chúng ta c n nh các công th nh lý hàm s cosin trong tam giác ABC : 2 2 2 AB AC BC cos BAC 2.AB.AC + = Tương tự ta có: 2 2 2 BA BC AC cos ABC 2.BA.BC + = và 2 2 2 CA CB AB cos ACB 2.CA.CB + = Chú ý: ( ) 2 2 2 1 AB.AC AB.AC cos BAC AB AC BC 2 = = + ng th AB và CD d th c ( ) ( ) AB.CD AB.CD cos AB;CD cos AB;CD AB . CD AB . CD = = t ng th ng AB và CD. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đề u c nh a, ( ) SA ABC và SA a 3 = . G i M, N l n lượt là trung điể m c a A B và SC. Tính cosin góc giữa hai đườ ng th L i gi i Cách 1: D ng hình bình hành AMCE suy ra a AM CE 2 = = .Khi đó ( ) ( ) AE / /CM AE;CM AN; AE . = = φ M t khác 2 2 SC SA AC 2a = + = dài ng trung tuy n AN là SC a 3 AN a.AE CM . 2 2 = = = = Do ABC u nên CM AM AMCE là hình ch nh t. Khi đó CE AE mà ( ) CE SA CE SAE CE SE. SEC vuông tại E có đườ ng trung tuy n 1 EN SC a. 2 = = T a có: 2 2 2 AN AE NE 3 3 cos NAE 0 cos . 2.AN.AE 4 4 + = = > Cách 2: Ta có: ( ) 1 1 AN AS AC ;CM AM AC AB AC. 2 2 = + = = Khi đó ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 a 3a AN.CM AS AC AB AC AB.AC AC a cos 60 . 2 2 4 2 4 2 8 = + = = = L 2 3a 8 SC a 3 3 AN a;CM cos . 2 2 4 a 3 a. 2 = = = = Bình lu n: D y r ng, trong m t s trườ ng h c s d ng công c vectơ tí nh góc giữa hai đườ ng th ng giúp bài toán tr nên d ràng h n r t nhi u!. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB a; AC a 2 = = = = = và BC a 3 = . Tính cosin góc giữ a hai đườ ng th ng SC và AB. L i gi i Cách 1: G i M, N, P l t là t rung điể m c ( ) ( ) MP / /SC SC; AB MP; MN . N / /AB = Ta có: AB a SC a MN ; MP . 2 2 2 2 = = = = M t khác SAC vuông tạ i S AC a 2 SP . 2 2 = = 2 2 2 2 2 BA BC AC 3 a 6 BP a BP . 2 4 2 2 + = = = Suy ra 2 2 2 2 2 PS PB SB 3a a 3 PN NP . 2 4 4 2 + = = =