Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm

Mô tả

CH 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔ I BI D . I BI HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặ t t = hàm theo bi n x) Mẫu 1: i bi n hàm s vô t n Nguyên hàm ( ) f x dx trong đó ( ) ( ) n f x g x = ta đặ t ( ) ( ) n n t g x t g x = = ( ) 1 n nt dt g x dx = . Khi đó ( ) ( ) . f x dx h t dt = Mẫ u 2: Nguyên hàm dạng ( ) . x f a dx Ta đặ t ( ) ( ) . ln .ln .ln x x x f t dt dt t a dt a adx dx f a dx t a t a = = = = . Mẫ u 3: Nguyên hàm dạng ( ) ln . f x dx x Ta đặ t 1 ln . t x dt dx x = = Khi đó ( ) ( ) ln . f x dx f t dt x = Chú ý: N t t b Ví dụ v 2 ln . ln 1 x dx I x x = + ta nên đặ t 2 2 2 ln 1 ln 1. t x t x = + = + 1 1 2 2 ln . ln . . tdt x dx tdt x dx x x = = Khi đó 2 ln 1 tdt I dt t C x C t = = = + = + + . Ví d 1: Tìm các nguyên hàm sau: a) 3 2 4 . I x x dx = + b) ( ) 3 2 4 . I x x dx = + c) ( ) . 1 dx I x x = + d) 3 1 . 9 I dx x x = + L i gi i a) t 2 2 2 4 4 2 d 2 . t x t x t t xdx tdt xdx = + = + = = Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 4 . 4 I x x xdx t t tdt t t dt = + = = ( ) ( ) 5 3 2 2 5 3 4 4 4 4 . 5 3 5 3 x x t t C C + + = + = + b) t 2 2 2 4 4 2 2 . t x t x tdt xdx tdt xdx = + = + = = Khi đó ( ) ( ) 5 2 5 3 2 3 4 4 4 . . 5 5 x t I x x dx t tdt t dt C C + = + = = = + = + c) t 2 2 t x t x tdt dx = = =Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 . 1 1 1 1 t t dt tdt dt I dt t t t t t t t t + = = = = + + + + 2 ln 2 ln 1 2 ln 2 ln . 1 1 t x t t C C C t x = + + = + = + + + d) t 3 2 3 2 9 9 2 3 t x t x tdt x dx = + = + = Ta có: ( ) 2 2 3 3 3 1 3 2 3 9 . 9 3 9 x tdt I dx dx t t x x x x = = = + + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 9 3 3 9 3 3 9 t t dt dt dt t t t t t t t + = = = = + + + 3 3 1 3 1 9 3 ln ln . 9 3 9 9 3 t x C C t x + = + = + + + + Ví d 2: Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 . 1 x x e I dx e + = + b) 2 ln 1 . ln x I dx x x + = c) ln . 2 ln 1 . x x I dx x + = d) ln . . ln 2 x I dx x x = + L i gi i a) t x x t e dt e dx dt tdx = = = K hi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ln ln 1 x x d t t t dt t dt I t t C e e C t t t t t t + + + = = = = + + = + + + + + ( ) ( ) ln ln 1 ln 1 . x x x e e C x e C = + + + = + + + Cách 2: 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + = = = + = + + + + + x x x x x x x x x e e e e e dx I dx dx dx dx e e e e ( ) ( ) 1 ln 1 . 1 x x x d e x e x C e + = + = + + + + b) t ln dx t x dt x = = Khi đó 2 2 2 1 1 ln ln ln ln . 2 2 t t x I dt t dt t C x C t t + = = + = + + = + + c) t 2 2 2 ln 1 2 ln 1 2 . dx dx t x t x tdt tdt x x = + = + = =