Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu

Mô tả

CH 13: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦ U VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến củ a m ph ng Vectơ 0 n c g n c a m ng ( ) n c a n vuông góc vớ i ( ). Nêu 2 vectơ u và v không cùng phương và giá của chúng song song v i m t m ng ( ) (hoặ c n m trên ( )) thì vectơ , n u v =  là m t vectơ pháp tuyế n c a m ng ( ). Chú ý: N 0 n là vectơ pháp tuyế n c a m ng ( ) thì . ( , 0) k n k k cũng là một vectơ pháp tuyế n c a m ng ( ). Ví dụ : N (2; 4;6) n = là m n c a m ng ( ) thì 1 (1; 2;3) n = cũng là một vectơ pháp tuyế n c a m ng ( ). Trong quá trình tính toán ta nên chọn vectơ đơn giản nhấ t. 2. M m ( ) 0 0 0 ; ; M x y z có vectơ pháp tuyế n là ( ) n A; B;C = có phương trình tổng quát là 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0. A x x B y y C z z + + = 3. M i m ng Ax+ By + Cz + D = 0 v i A 2 + B 2 + C 2 > 0. Ngượ c l i m ng tr a m t m ng. N ng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ ( ; ; ) n A B C = là vectơ pháp tuyế n c a m ng ( ). 4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắ n M ng ( ) không đi qua gố c O , c t tr c Ox t m ( ) ;0;0 A a , c t tr c Oy t m ( ) 0; b;0 B và c t tr c Oz t m ( ) 0;0; C c có phương trình 1 x y z a b c + + = ( abc 0). Phương trình này đượ c g n c a m ng ( ). 5. M cách xác định vectơ pháp tuyế n c a m (P) t A, B, C thì có vectơ pháp tuyế n p n AB, AC =  (P) m A và song song v i (Q ) thì ta chọn cho p Q n n = (P) m A và vuông góc v t ( ), ( ) thì p p p n n n n ,n n n = (P) m A và song song v i hai vectơ thì , a b thì p p p n a n a,b n b = (P) m A, B và vuông góc v i ( ) thì , p p p n AB n AB n n n = II. Phương trình đường thẳ ng 1. Vectơ chỉ phương của đườ ng t hẳ ng Vectơ 0 u c g phương của đường thẳ ng d n a u song song hoặc trùng vớ i d . Chú ý: N 0 u là vectơ chỉ phương của đường thẳ ng d thì . ( ; 0) k u k k c ng là m phương của đường thẳ ng d . 2. m ( ) 0 0 0 ; ; M x y z v phương (a; b;c) u = có: + Phương trình tham số : 0 0 0 ( ). x x at y y bt t z z ct = + = + = + (V i m t cho ta các giá trị t ng , , x y z tương ứ ng là t c a m m M thuộc đườ ng thẳ ng). +) Phương trình chính tắc là: 0 0 0 x x y y z z a b c = = v n abc 0. 3. Cho 2 mặt phẳ ng (P) và (Q) l Ax 0 By Cz D + + + = và A'x ' ' ' 0 B y C z D + + + = v n A : B : C A' : B' : C' ng t hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọ i d là đường thẳng giao tuyế n c ng d g m M (x;y;z) v c m ng (P) v c m ng (Q) nên t m M là nghiệ m c phương trình 0 0 Ax By Cz D . A' x B' y C' z D' + + + = + + + = Khi đó ( P ) Q u n ,n =  v i ( P ) Q n ( A; B;C ); n ( A'; B';C') = = là m chỉ phương của đườ ng thẳ ng d . 4. M cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay gặp: (d) m A và song song v i ng ( ) thì ta chọn cho d u u = (d) m A và vuông góc v ng thẳ ng ( d 1 ), ( d 2 ) thì 1 1 2 2 d d d d d d d u u u u ,u u u = (d) m A và song song v i hai mặt phẳ ng ( ), ( ) thì d d d u n u n ,n u n = (d) m A và vuông góc v ng ( ) ; song song vớ i m ng (P) thì