Một số bài toán chọn lọc về tích phân

Mô tả

CH 15: M T S BÀI TOÁN CH N L C V TÍCH PHÂN Ví d 1: Cho hàm s ( ) y f x = có o hàm liên t trên n [ ] 1; 2 th a mãn ( ) ( ) ( ) 2 . . 1 f x x f x x f x + = + . Bi t ( ) 1 2 f = − , tính ( ) 2 f A. ( ) 1 2 . 2 f = B. ( ) 1 2 . 2 f = C. ( ) 3 2 . 2 f = D. ( ) 3 2 . 4 f = L i gi i: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 . . . . 1 1 1 . 1 . 1 x f x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x + + = + = = + + L y nguyên hàm 2 v ta đượ c: ( ) 1 . 1 x C x f x = + + Thay ( ) ( ) 2 1 1 1 3 1 1 0 2 2 1 4 x C C f x f x x = = + = = = − + . Ch n D. Ví d 2: Cho hàm s ( ) y f x = xác nh và liên t trên n [ ] 1;3 và th a mãn ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 3 . . . 1 1;3 x f x x f x x f x x + = + và ( ) 2 1 3 f = . Khi đó: A. ( ) 0 3 1. f < < B. ( ) 1 3 3. f < < C. ( ) 3 3. f > D. ( ) 3 0. f < L i gi i: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 . . 1 . 1 x f x x f x xf x x f x x f x xf x + = + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . 1 1 1 1 x f x f x x f x x x xf x xf x + = = + + L y nguyên hàm 2 v ta đượ c: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 d xf x dx C xf x x x xf x + = + + + L i có: ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 2 3 1. 1 1 1 3 f C C f = = − + = + = − + + Do đó ( ) 1 1 2 . 1 x f x x = + + , thay ( ) ( ) 1 1 4 3 2 3 3. 3 1 3 21 x f f = = + = + . Ch n D . Ví d 3 : Cho hàm s ( ) y f x = ng bi n và luôn dương trên đo n [ ] 1;3 ng th i th a mãn ( ) ( ) ( ) 2 4 2 3 f x x x f x = + , bi t ( ) 1 4 f = . Khi A. ( ) 0 2 3. f < < B. ( ) 3 2 5. f < < C. ( ) 5 2 9. f < < D. ( ) 2 9. f > L i gi i: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 3 3 f x f x x x f x x x f x = + = + ( ) ( ) 2 3 f x x x f x = + (do ( ) [ ] 0 1; 2 f x x > ) L y nguyên hàm 2 v ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 3 3 2 d f x x x dx f x x dx x f x + = + + ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 . 3 3 4 3 6 f x x C x C = + + = + + Do ( ) ( ) ( ) 3 2 3 8 2 2 1 4 2 . 6 3 6 3 x f C C f x + = = + = = + ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 14,1 6 3 x f x f + = + . Ch n D. Ví d 4: Cho hàm s ( ) f x có đạo hàm xác đị nh, liên t c [ ] 0;1 ng th i th a m u ki n ( ) 0 1 f = − và ( ) ( ) 2 f x f x = . Đặ t ( ) ( ) 1 0 T f f = , hãy ch n kh A. 2 1. T < − B. 1 0. T < C. 0 1. T < D. 1 2. T < L i gi i: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 f x f x f x f x = = L y nguyên hàm 2 v ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 d f x dx x C f x f x x C f x = = + = + Do ( ) 0 1 1 f C = − = Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 0 ln 2 1 f x dx dx f f x = = − + . Ch n B. Ví d 5: Cho hàm s ( ) f x liên t và ng bi n trên n [ ] 0;1 , bi t ( ) 0 1 f = và ( ) ( ) [ ] 2 3 2 9 9 . 0;1 f x x x x f x x + = + . M nào dưới đây đúng