Chuyên đề trắc nghiệm tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng

Mô tả

CH 12: TÍCH CÓ HƯỚ NG VÀ NG D NG 1) Công th nh th c: . a b ad bc c d = 2) ng c : Cho 2 vectơ : ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; y ; ; ; ; z . u x z v x y = = Khi đó tích có hướ ng c a 2 vectơ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; y ; ; ; ; z u x z v x y = = ký hi u: , u v là m t vectơ và được tính như sau: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; ; ; y z z x x y u v y z y z z x z x x y x y y z z x x y = 3) Tính chấ t: , ; , ; , , u v u u v v u v v u = − dài c a vectơ tíc h có hướ ng , . .sin( , ). u v u v u v Hai vectơ ; u v cùng phương , 0 (0;0;0). u v = Ba vectơ ; ; a b c ng ph ng khi , . 0. a b c = T m A, B, C, D là 4 đ ỉ nh c a m t t di n khi 3 vectơ ; ; AB AC AD không đồ ng ph ng hay , . 0 AB AC AD và 4 m A, B, C, D ng ph ng khi , . 0. AB AC AD = 4) ng d ng: Di : , . ABCD ABCD S AB AD =  Di 1 : , . 2 ABC ABC S AB AC = Th tích khố i h p . ' ' ' ' . ' ' ' ' : , . ' . ABCD A B C D ABCD A B C D V AB AD AA =  Th tích tứ di n ABCD : 1 , . . 6 ABCD V AB AC AD = Ví d 1: Tính tích có hư a các c vectơ sau: a) ( ) ( ) 1;0; 2 ; 0;1;3 . a b = = b) ( ) ( ) 3;1; 1 ; 2;1; 2 . a b = = c) ( ) ( ) 3;1; 4 ; 1; 1; 2 . a b = = d) ( ) ( ) 1;3;5 ; 2; 1;3 . a b = = L i gi i: a) ( ) 0 2 2 1 1 0 , ; ; 2; 3;1 . 1 3 3 0 0 1 a b = b) ( ) 1 1 1 3 3 1 , ; ; 1; 4;1 . 1 2 2 2 2 1 a b = c) ( ) 1 4 4 3 3 1 , ; ; 6;10; 2 . 1 2 2 1 1 1 a b = d) ( ) , 4;13; 7 . a b Ví d 2: a) Cho 3 vectơ ( ) ( ) ( ) 2; 1;1 ; ;3; 1 ; 1; 2;1 . u v m w = = = Tìm m 3 vectơ ng ph ng. b) Cho 3 vectơ ( ) ( ) ( ) 1; 2;3 ; 2;1; ; 2; ;1 . u v m w m = = = Tìm m 3 vectơ không đồ ng ph ng. L i gi i: a ) Ta có: ( ) , 2; 2; 6 , . 2 2 4 6 3 8 u v m m u v w m m m = + + = − + + + + = + Ba vectơ ; ; u v w ng ph ng 8 3 8 0 . 3 m m + = = − b) Ta có: ( ) 2 2 , 2 3;6 ; 3 , . 4 6 6 3 10 9 u v m m u v w m m m m m = = + = − + 3 vectơ ; ; u v w không đồ ng ph 2 1 , . 0 10 9 0 . 9 m u v w m m m + Ví d 3 : Trong không gian v tr a đ Oxyz , cho 4 đi (1;0;1); ( 1;1; 2); A B ( 1;1;0); (2; 1; 2). C D a) Ch ng A, B, C, D là 4 đỉ nh c a m t t di n. b) Tính thể tích tứ di n ABCD. Suy ra độ dài đườ ng cao c a t di nh A. L i gi i: a) Ta có: ( 2;1;1); ( 2;1; 1); (1; 1; 3). AB AC AD = − = − = Suy ra , ( 2; 4;0) , . 2 0 ; ; AB AC AB AC AD AB AC AD = − = không đồ ng ph ng Do đó A, B, C, D là 4 đỉ nh c a m t t di n. b) Th tích tứ di n ABCD là: 1 1 , . ( ). 6 3 ABCD V AB AC AD = = L (0;0; 2); (3; 2; 4) , ( 4; 6;0) BC BD BC BD = = = − 3 1 13 , 13 ( , ( )) . 2 13 ABCD BCD BCD V S BC BD d A BCD S = = = =