Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính thể tích

Mô tả

CH 13: NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH TH TÍCH 1) Tính th tích v t th C t m t v t th ( ) H b i hai m t ph ng ( ) P và ( ) Q vuông góc v i tr c Ox l n lư t t i ( ) ; . x a x b a b = = M t m t ph ng tu i Ox t i đi m x ( a x b ) c t ( ) H theo thi t di n là ( ) S x (hình v ). Gi s ( ) S x liên t c trên đo n ; . a b Khi đó th tích V c a v t th ( ) H gi i h n b i hai m t ph ng ( ) P và ( ) Q c tính b i công th c: ( ) . b a V S x dx = 2) Tính th tích v t tròn xoay sinh b i di n tích S quay quanh tr c Ox Gi s m t hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s ( ) y f x = , tr c Ox và hai ng th ng x a = và ( ) x b a b = quay quanh tr c Ox t o thành m t kh i trò n xoay ( hình v ) . Khi đó ta có th tích v t th là : ( ) = b a dx x S V M t khác t i đi m x ta có ( ) S x là m t hình tròn có bán kính ( ) R f x = ( ) ( ) 2 2 S x R f x = = . V y ( ) 2 . b Ox a V f x dx = Trong trư ng h p ( ) S x gi i h n b i hai đ th hàm s ( ) y f x = và ( ) y g x = ta đư c kh i tròn xoay có th tích là: ( ) ( ) 2 2 . b Ox a V f x g x dx = Chú ý: Khi bài toán không cho hai đư ng th ng gi i h n x a = và x b = thì ta gi i phương trình ( ) ( ) f x g x = tìm c n c a tích phân, trong đó x a = là nghi m nh nh t và x b = là nghi m l n nh t c a phương trình. 3) Tính th tích v t tròn x oay sinh b i di n tích S quay quanh tr c Oy Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay hình ph ng gi i h n b i th hàm s ( ) y f x = tr c Oy và hai ng th ng ( ) ( ) ; . y f a y f b = = - Bư c 1: Bi n đ i ( ) y f x = v d ng ( ) 1 . x f y = - Bư c 2: Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 1 . f b Oy f a V f y dy = Tương t : Trong trư ng h p Oy V sinh ra b i di n tích hình ph ng c a hai đ th hàm s ( ) ( ) ; y f x y g x = = và hai đư ng th ng ; y m y n = = ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 . n Oy m V f y g y dy = Chú ý: Khi quay di n tích hình ph ng S quanh tr c Ox ta đư c kh i tròn xoay có th tích Ox V . Khi quay quanh tr c Oy ta đư c kh i tròn xoay có th tích . Oy V H u như Ox V không b ng Oy V . Chúng ch b ng nhau trong m t s trư ng h p đ c bi t. 4) ng d ng tính th tích kh i c u, kh i ch m c u và m t s hình đ c bi t a) Th tích c a kh i c u Trong h t a đ Oxy cho n a đư ng tròn có phương trình: ( ) 2 2 2 : r y x P = + v i 0; 0 r y (hình v ). Quay n a hình tròn đó quanh tr c hoành ta đư c m t m t c u có bán kính . r Th tích c a m t c u này là: ( ) 3 4 3 V r = . Th t v y: Ta có 2 2 2 2 2 x r y r y x = = + V i 0 y ta có: 2 2 x r y = có đ th là n a đư ng tròn phía trên tr c hoành. Khi đó th tích kh i c u ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 3 r r r r x V r x dx r x dx r x = = =