Đề học sinh giỏi huyện Toán 8 năm 2013 – 2014 phòng GD&ĐT Nho Quan – Ninh Bình

Mô tả

UBND HUY N NHO QUAN PHÒNG GIÁO D C VÀ O KH O SÁT CH T L NG H C SINH GI I N m h c 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 8 (Th i gian làm bài 150 phút) thi g m 05 câu, trong 01 trang Câu 1 (4,5 i m). 1. Phân tích các a th c sau thành nhân t : a) 3 ( 2) 5 10 x x x . b) 3 2 5 8 4 x x x . 2. Cho bi u th c 2 2 10 1 6 Q : 2 3 5 10 2 2 4 x x x x x x x x , v i 0 x và 2 x . a) Rút g n bi u th c Q. b) Tính giá tr c a Q bi t 1 2 x . c) Tìm x Q > 0. Câu 2 (3,0 i m). 1. Ch ng minh r ng s có d ng 4 3 2 6 11 6 A n n n n chia h t cho 24 v i m i s t nhiên n. 2. a th c f(x) khi chia cho 1 x d 4, khi chia cho 2 1 x d 2 3 x . Tìm ph n d khi chia f(x) cho 2 ( 1)( 1). x x Câu 3 (4,0 i m). 1. Gi i các ph ng trình sau: a) 1 2 3 2012 ... 2012 2013 2012 2011 2 x x x x . b) 2 2 2 ( 4 ) 2( 2) 43 x x x . 2. Gi i ph ng trình nghi m nguyên: 2 2012 2013 2014 0 x xy x y . Câu 4 (6,0 i m). Cho hình vuông ABCD c nh a, l y i m M b t k trên c nh BC (M khác B và C). Qua B k ng th ng vuông góc v i ng th ng DM t i H, kéo dài BH c t ng th ng DC t i K. 1. Ch ng minh KM vuông góc v i DB. 2. Ch ng minh r ng: KC.KD = KH.KB. 3. Ký hi u , A BM DCM S S l n l t là di n tích các tam giác ABM và DCM. a) Ch ng minh t ng ( ) A BM DCM S S không i. b) Xác nh v trí c a i m M trên c nh BC 2 2 ( ) A BM DCM S S t giá tr nh nh t. Tìm giá tr nh nh t Câu 5 (2,5 i m). 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 4 2 2 2 3 1 9 P x x x . 2. Cho a, b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng: 3 3 2 5 a c a b a a b a c b c . ng th c x y ra khi nào? --------------- H t --------------- THI CHÍNH TH CUBND HUY N NHO QUAN PHÒNG GIÁO D C VÀ O H NG D N CH M KSCL H C SINH GI I Môn: Toán 8 N m h c 2013 - 2014 Câu i m Câu 1 (4,5 i m) 1. (2,0 i m) a) 3 ( 2) 5 10 x x x = 3 ( 2) 5( 2) x x x = ( 2)(3 5) x x 0,5 b) Ta có 3 2 5 8 4 x x x = 3 2 2 ( 4 4 ) ( 4 4) x x x x x 0,5 = 2 2 ( 2) ( 2) x x x 0,75 = 2 ( 1)( 2) x x 0,25 2. (2,5 i m) a) V i 0; 2, x x ta có: 2 2 10 1 6 : 2 ( 2)( 2) 5( 2) 2 2 x x Q x x x x x x x 0,5 2( 2) ( 2) 2 6 2 3 ( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) 2 x x x x x x x x x x x 0,75 b) 1 1 2 2 x x 0,25 Khi 1 6 2 5 x th Q 0,25 Khi 1 2 2 x th Q 0,25 c) Q > 0 3 0 2 0 2 2 x x x 0,25 K t h p v i KX ta có 2; 0; 2 x x x là giá tr c n tìm. 0,25 Câu 2 (3 i m) 1. (1,5 i m) 4 3 2 6 11 6 A n n n n = ( 1)( 2)( 3) n n n n 0,5 Vì ; 1; 2 n n n là ba s t nhiên liên ti p nên t n t i 1 s chia h t cho 3. Do ( 1)( 2) 3 n n n 0,25 Vì ; 1; 2; 3 n n n n là b n s t nhiên liên ti p nên có 2 s ch n liên ti p, trong 2 s ch n liên ti p có 1 s chia h t cho 2, s kia chia h t cho 4. V y ( 1)( 2)( 3) n n n n 8 0,5 Vì CLN(3;8) =1 nên 4 3 2 6 11 6 A n n n n chia h t cho 24. 0,25 2. (1,5 i m) Ta có: f(x) chia 1 x d 4 => f(-1) = 4. 0,25 Do b c c a a th c chia là 3 nên a th c d có d ng 2 ax bx c . 0,25 Theo nh ngh a phép chia còn d , ta có : 2 2 2 2 2 2 f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1) 2 .q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a 0,25 Mà f(x) chia cho 2 1 x d 2 3. x Do 2 2 2 9 3 3 2 4 6 3 2 b b b c a c a c a b c a c a 0,5