Lý thuyết, các dạng toán và bài tập bất đẳng thức và bất phương trình

Mô tả

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. BẤT ĐẲNG THỨC I. Tóm tắt lí thuyết 1. Các khái niệm Khái niệm (Bất đẳng thức). Cho hai số thực a , b . Các mệnh đề “ a > b a < b a b a b gọi là các bất đẳng thức. Khái niệm (Bất đẳng thức cùng chiều, trái chiều). Cho bốn số thực a , b , c , d . Các bất đẳng thức “ a > b c > d Các bất đẳng thức “ a > b c < d Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả). Nếu mệnh đề “ a > b c > d c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức “ a > b a > b c > d . Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương). Nếu bất đẳng thức “ a > b c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a > b c > d . 2. Tính chất Tính chất Tên gọi Nội dung a < b a + c < b + c Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số. c > 0 a < b ac < bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số. c < 0 a < b ac > bc a < b và c < d a + c < b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều. a > 0 , c > 0 a < b và c < d ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều. n N a < b a 2 n + 1 < b 2 n + 1 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa. n N và a > 0 a < b a 2 n < b 2 n a > 0 a < b a < b Khai căn hai vế của một bất a < b 3 a < 3 b 245246 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH II. Các dạng toán Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương + Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đã biết. + Sử dụng một bất đẳng thức đã biết, biến đổi để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh. Một số bất đẳng thức thông dụng: + a 2 0 ; + a 2 + b 2 0 ; + a b 0 , với a , b 0 ; + a 2 + b 2 2 ab . Ví dụ 1. Chứng minh 1 x + x + 2 6 , x [ 2; 1 ] . Lời giải. Với x [ 2; 1 ] , ta có 1 x + x + 2 6 3 + 2 ( 1 x )( x + 2 ) 6 4 ( 1 x )( x + 2 ) 9 ( 2 x + 1 ) 2 0 . Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy, bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Chứng minh a 2 + b 2 + 2 2 ( a + b ) , với mọi số thực a , b . Lời giải. Với mọi số thực a , b ta luôn có ( a 1 ) 2 + ( b 1 ) 2 0 a 2 + b 2 + 2 2 ( a + b ) . Bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . Ví dụ 3. Cho các số thực x , y , z . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx ; b) x 2 + y 2 + 1 xy + x + y . Lời giải. a) Bất đẳng thức tương đương với 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2 xy + 2 yz + 2 zx ( x y ) 2 + ( y z ) 2 + ( z x ) 2 0 . Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z . Phép chứng minh hoàn tất. b) Ta có x 2 + y 2 + 1 xy + x + y 2 x 2 + 2 y 2 + 2 2 xy 2 x 2 y 0 ( x y ) 2 + ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 0 . x = y = 1 . Bài toán đã được chứng minh.