Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng

Mô tả

Trang 1/40 CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vectơ 0 n là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng ( ) Chú ý: Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì k n ( 0) k cũng là một VTPT của mặt phẳng ( ) . Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó. N , u v có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì [ , ] n u v = là một VTPT của ( ) . II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình 0 Ax By Cz D + + + = thì nó có một VTPT là ( ; ; ) n A B C . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và nhận vectơ ( ; ; ) n A B C khác 0 là VTPT là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z + + = . Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D + + + = với 2 2 2 0 A B C + + Nếu 0 D = thì mặt phẳng ( ) O . Nếu 0, 0, 0 A B C = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox . Nếu 0, 0, 0 A B C = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy . Nếu 0, 0, 0 A B C = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz . Nếu 0, 0 A B C = = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với ( ) Oxy . Nếu 0, 0 A C B = = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với ( ) Oxz . Nếu 0, 0 B C A = = thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với ( ) Oyz .Trang 2/40 Chú ý : N ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : 1 x y z a b c + + = . Ở đây ( ) c t ( ) ;0;0 a , ( ) 0; ;0 b , ( ) 0;0; c với 0 abc . III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0 (x ; ; ) M y z và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D + + + = Khi đó khoảng cách từ điểm 0 M ( ) 0 0 0 0 2 2 2 | | ( , ( )) Ax By Cz D d M A B C IV. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D + + + = và ( ) 2 2 2 2 : 0. A x B y C z D + + + = Góc giữa ( ) và ( ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n . Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos , cos , . . n n A A B B C C n n n n A B C A B C + + = = = + + + + V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng Dạng 1 : Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và song song với 1 mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D + + + = cho trước. Phương pháp giải C 1. VTPT của ( ) là ( ) ; ; . n A B C = 2. ( ) // ( ) nên VTPT của mặt phẳng ( ) là ( ) ; ; . n n A B C = = 3. Phương trình mặt phẳng ( ) : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0. A x x B y y C z z + + = Cách 2: 1. Mặt phẳng ( ) // ( ) nên phương trình ( ) P có dạng: 0 Ax By Cz D + + + = (*), với D D . 2. Vì ( ) P qua 1 điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z nên thay tọa độ ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z vào (*) tìm được D . Dạng 3 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) A , B , C không thẳng hàng. Phương pháp giải 1. Tìm tọa độ các vectơ: , . AB AC