Mô tả của đề đang được cập nhật

Đề chọn đội tuyển Toán 11 năm 2022 – 2023 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội

TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TỔ TOÁN –TIN

NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: TOÁN - Lớp 11

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (6 điểm) Giải phương trình:
a. sin x  2 cos3 x
x

b. cot x  sin x. 1  tan x.tan   4
2


Câu 2. (2 điểm) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

y  3 sin x  cos x  2022
Câu 3. (2 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Câu 4. (4 điểm) Một viên gạch hình vuông có cạnh là 30 cm được thiết kế như hình
vẽ. Người ta dựng một cung tròn có tâm là một đỉnh của viên gạch với bán kính 30
cm, sau đó dựng thêm một cung tròn nữa như vậy nhưng có tâm là đỉnh đối diện
với đỉnh trên. Em hãy tính diện tích phần giao nhau của hai cung tròn đó.
Câu 5. (4 điểm)
Bảng giá cước xe taxi Mai Linh loại xe Kia Morning như sau: 10 ngàn đồng cho 0,6 km đầu tiên, 13 ngàn
đồng/km cho đoạn tiếp theo nếu quãng đường đi hơn 0,6 km nhưng không quá 25 km và 11 ngàn đồng/km
cho đoạn tiếp theo nếu quãng đường đi trên

Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2022 – 2023 trường THPT Bình Chiểu – TP HCM

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LẦN 1

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2022 – 2023

(Đề thi gồm 01 trang)

MÔN: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ, tên thí sinh:................................................................... Số báo danh: .............................
Câu I.(2,0 điểm)
1. Cho hàm số y = x2 − 4x + 3 có đồ thị ( P ) . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng ( dm ) : y = x + m
cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn

1 1
+ =2
x1 x2

2. Cho hàm số y = (m − 1) x2 − 2mx + m + 2 ( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(−;2) .
Câu II.(2,0 điểm) Giải phương trình: 8x2 − 8x + 3 = 8x 2 x2 − 3x + 1
Câu III.(5,0 điểm)
1. Giải phương trình: cos 2 2 x + cos 2 x − 3 = 0
4

2. Giải phương trình: 3 sin 3x − (4sin 2 x + 1)cos x = 0
3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho có đúng một

Đề KSCL học sinh giỏi Toán 11 lần 1 năm 2022 – 2023 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ  TRƯỜNG THPT THUẬN AN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM HỌC 2012 - 2013  Thời gian làm bài:   12 0 phút ( không kể thời gian phát đề)  Họ và tên thí sinh   :.........................................................................   Số báo danh   : ............................. ............   Bài 1 : (4 điểm) Giải các phương trình sau :  1.   2 10 4sin   .cos   tan(   )(2sin   1)   2sin 3 3  x   x   x   x             2.            =  +   2 4 cos 2 sin 2 cos sin 2 sin 1   2 2   x x x x x    Bài 2 : (2 điểm) Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân. Tùng muốn mời 5 bạn  Lân rất ghét nhau nên Tùng không thể đồng thời mời cả hai bạn này cùng có mặt.  Bài 3 : (3 điểm)  1.   Chứng minh:   1   2   1   2   2 2   1   2   1   2   1   2   1   2   1   2   1 ...   ... n   n   n   n n   n   n   n   n   n C   C   C   C   C   C +   + +   +   +   +   +   + +   +   +   =   +   +   +   .  2.   Tìm hệ số của số hạng chứa   26  x   trong khai triển nhị thức Newtơn   7  4  1   n  x x      +           , biết rằng   1   2   20  2   1   2   1   2   1 ...   2   1 +   +   + +   +   +   =    n n   n   n C   C   C  Bài 4 : (2 điểm) Cho dãy số   1 1 2 (   ) :   5   4 n n   n u u   u   u                  . Tìm số hạng tổng quát của   n u   theo n.  Bài 5 : (2 điểm) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân; đồng thời chúng theo thứ tự là số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Tìm 3 số đó biết tổng của chúng bằng 13.  Bài 6 : (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho    ABC. Biết B,C nằm trên đường thằng   :   3   0 d   x   y          , A nằm trên đường thẳng   ' : 3   2   0 d   x   y          , trọng tâm của tam giác ABC là   2   2 (   ;   ) 3   3  G   và diện tích tam giác ABC bằng 10. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hoành độ của điểm A không âm.  Bài7 : (2 điểm)   Cho   tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng 3   tam giác đều  1   1   1 ,   , ABC   BCA CAB   . Chứng minh   1   1   1 AA ,BB ,CC    .  Bài 8 :   (2 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa :   1 2  a   b   c          . Chứng minh :   1   1   1   3 2   3   2   3   2   3 a   b   c   b   c   a   c   a   b                          -------------------------- Hết --------------------- M  Bài        m  1)  ( 4điể m)  1)(2điể m) Gi    2 10 4sin   .cos   tan(   )(2sin   1)   2sin 3 3  x   x   x   x            Phương trình đã cho tương đương vớ i:   sin 2   3 os2   2sin 3 x   c   x   x       0,5  1   3 sin 2   os2   sin 3 2   2  x   c   x   x          0,5  sin(2   )   sin 3 3  x   x             0,5  2 3 4   2 15   5  x   k k k x                                   0,5  2)(2điể m) Gi             =  +   2 4 cos 2 sin 2 cos sin 2 sin 1   2 2   x x x x x    Phương trình đã cho tương đương vớ i:   sin   (sin   os   .sin   1)   0 2   2  x   x x   c   x          0,5  3 sin   (2sin   sin   1)   0 2   2  x   x x             0,5     sin   0 x   x   k           0,5     3 2sin   sin   1   0   sin   1   4 2   2   2  x   x   x   x   k                             0,5 2) (2  m) B  n Tùng có 10 ngư   n thân, trong đó có Long và Lân. Tùng mu    n đ  n tham d  sinh nh  i b  n Tùng có bao nhiêu cách m  i, bi  ng hai b  nhau nên không thể    i có m   S    n 5 ngư     trong 10 ngư  i đ    t c  a mình là :  5 10   252 C      0,5 S    i 5 ngư   n trong 10 ngư  i đ  ng th     Long và Lân là:  3 8   56 C      0,5  Vì hai b  n Long và Lân r  t ghét nhau nên không th      ng th   t, vì v   ch    có thể   m  i nhi  u nh    sinh nh    0,5 V      n đ    t là:   252   56   196       0,5

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2012 – 2013 trường THPT Thuận An – TT Huế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU     MÔN THI: TOÁN LỚP 11  Ngày thi: 06/03/2018  Th  i gian làm bài: 180 phút, không k    th  i gian giao     Bài 1 (5,0 điểm):  1) Giải phương trình             4   4 2 cos   sin   1   2cos 2   sin   3 cos3   . x   x   x   x   x            2) Cho tam giác   A BC   không tù và thỏa mãn       3   3   3   9 2 cos   cos   cos   3cos   cos   cos   8  A   B   C   A   B   C             . Chứng minh   A BC   là một tam giác đều.  Bài 2 (2,0 điểm):   Cho khai triển sau:             2018 2 2018   2017   2018 1   2 2018   2017   1   0   2   2018 2   2   ...   ... 1   1   1   1  b x   x   b   b a   x   a   x   a x   a x   x   x   x                                                        với   1 x      . Hãy tính hệ số   0 a   và tổng   1   2   2018 ...   . S   b   b   b            Bài   3 (5,0 điểm):   Cho đoạn   A B   vuông góc mặt phẳng ( P ) tại điểm   B   . Trong ( P ) lấy điểm   H   thỏa (   0) BH   BA   a a          . Vẽ đường thẳng   d   nằm trong (P) và qua   H   ,   d   vuông góc với   . BH   Hai điểm , M   N   di động trên   d   và thỏa mãn      90 . MAN            A   và vuông góc mặt phẳng   (   ) A MN  cắt ( P ) tại điểm   K .  1) Chứng minh rằng   B   là trực tâm của tam giác   KMN   . 2) Gọi   ,        lần lượt là số đo các góc tạo bởi   B M   với mp   (   ) A KN   ,   BN   với mp   (   ) A KM   . Chứng minh   2   2   1 cos   cos   2            và tìm giá trị nhỏ nhất của          .  Bài 4 (4,0 điểm):   Cho dãy số   (   ) n a   xác định bởi công thức: 1   2 2   1 1;   2; (3   2)   2(   1)   ;   1;2;3; ... n   n   n a   a na   n   a   n   a   n                            1) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy   (   ) n a   . 2) Chứng minh   * 1   2 (   1) 1   1   ...   1   ;   . 2  n n n a   a   a   n                                3) Tính   1   2 2 lim   ... 3   3   3  n n a a   a                      .  Bài 5 (4,0 điểm):  1) Tìm tất cả các giá trị của   a          2   2 lim   2   2  x   x ax   x   x   x   x                 có giá trị hữu hạn. 2) Tìm tất cả các hàm số   : f          thỏa mãn                                      2 f   x   y   f   x   f   y   f   xy   f   x   f   y   xy                   với mọi   ,   . x   y        ----------------- HẾT ----------------- Họ và tên thí sinh........................................................................... Số báo danh .................................. Chữ ký của giám thị 1 ...................................................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU  KỲ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN THI: TOÁN LỚP 11  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC  (Hướng dẫn chấm có 04 trang)  Bài   Nội dung    1.1 (2,5 đ)                     4   4 2   2   2   2 2 cos   sin   1   2 cos 2   sin   3 cos 3 2 cos   sin   cos   sin   sin   2sin   cos 2   3 cos 3  x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x   x   x                             0,25 2 cos 2   sin   sin 3   sin   3 cos 3 x   x   x   x   x                0,5 3   1 cos 3   sin 3   cos 2 2   2  x   x   x          0,25 cos   cos 3   sin   sin 3   cos 2   cos   3   cos 2 6   6   6  x   x   x   x   x                                      0,25x2       3   2   2   2 6   6 2 3   2   2 6   30   5  x   x   k   x   k k x   x   k   x   k                                                                                   0,5x2  1.2 (2,5đ)   Ta có              1 cos   cos   cos   cos   cos   cos 2  A   B   C   A   B   A   B   C                     0,25            2 1   cos   cos   cos 2   C   A   B   A   B                       0,25            2   2   2   2 1   1   1 cos   cos 2   cos 2   cos   cos   cos   1 2   2   2  C   A   B   A   B   C                                     0,25x2 Do đó             3   3   3   2   2   2 3   9 2 cos   cos   cos   cos   cos   cos   1 2   8  gt   A   B   C   A   B   C                         0,25            3   2   3   2 16 cos   12 cos   1   16 cos   12 cos   1 A   A   B   B                      3   2 16 cos   12 cos   1   0 C   C            0,25                   2   2 2 cos   1   4 cos   1   2 cos   1   4 cos   1 A   A   B   B                          2 2 cos   1   4 cos   1   0 C   C            0,25 1 cos   cos   cos   2  A   B   C             (Do   4 cos   1   0, 4 cos   1   0, 4 cos   1   0 A   B   C                   ).   0,25x2 0 60 A   B   C   ABC                   0,25  2 (2,0đ)   2018 2   2   2 ( )   1  x   x f   x   x                    ta có   2018 0   1   2018 (0)   ...   2 f   a   b   b                . Vậy   2018 0   2   . a   S       (1) 0,5 2018   2018   2   2018 2018 0 1008   2018   2   2018 2018 2018 2018   2 0   1009 1 ( )   1   (   1) 1 (   1) (   1)  k   k k k k   k k k   k f   x   x   C   x x C   C   x x                                                  . 0,5 1008   1007   1   0 1   3   2017   2   4   2018   2018   2018   2018   2018 ...   0   ...   ... b   b   b   S   b   b   b   C   C   C   C                                           0,25

Đề thi Olympic 27/4 Toán 11 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Câu 1(3,0   ).   :   5   5   2 2 cos   .sin   2sin   .cos   sin 4 . x   x   x   x   x  Câu 2 (2,0   ).  2 2   6. 3  x   x   x x  Câu 3 (4,0   ).   Cho   (0;1) a   và   (   ) n u   xác   : 1 3 3 1 1 (   ) :   1  n n   n u u   u   au   a   * ,   . n  a)   (   ) n v   3   1 n   n v   u   (   ) n v  nhân b)   a   3   3   3 1   2 lim(   ...   )   4 n u   u   u   n   .  Câu 4 (3.0   ).   25    5 , Toán   Anh.  Câu 5 (6.0   ).   Cho   ABCD.A’B’C’D’   I AB,   E   DD’   sao cho   '   , (0   1) AI   D E   x   x   .  IE   ' A C   . b) Tìm   x   ' AC   và   DI   0 60 . , M N   ,   '   '. AB A D   K  (   ) CMN   '   ' B C   '   . '   '  B K B C  Câu 6 (2.0   ).   , , a b c   2   2   2   3   0 a   b   c   b   . 2   2   2 1   4   8   1. 1   2   3 a   b   c  -------------   -------------  c s   d ng tài li   i thích gì thêm.  H   và tên thí sinh:   ...................................................................................   SBD:   ...............................   Môn: TOÁN -   11  :   150   phút1  TR  NG THPT KIM LI£N         OLYMPIC   MÔN TOÁN   LỚP 11  NĂM HỌC 2018      2019  C¢U   N  I DUNG     1  ( 3    i  m) 5   5   2 2   2   2   2   2 2   2  2 cos   .sin   2sin   .cos   sin 4 2 cos   .sin   (cos   sin   )(cos   sin   )   sin 4 1 sin 2 .cos 2   sin 4   sin 4   sin 4 2  x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x                           1,5 4   4 sin 4   0 4   2   ,   . 1   6   24   2 sin 4   2   5 5 4   2   24   2 6  x   k x   k x x   k   x   k   k x x   k x   k                                                                                                      1,5  2  (2    )   0;   9. x   x     2 2   2  2   6   2(3   )   2. 3   3   3   3  x   x   x   x x   x   x   x x   x   x   x                                                     1,0 2   2   6 3   8   2   7. 3 1 3  x x   x x   x x   x   x x                                                1,0  3  ( 4 ,0 điểm )  a)   T a có                             3   3   3   3 1   1  1   1   1 n   n   n   n  u   au   a   u   a u   . Suy ra 1   . n   n v   av       1,0  Như vậy dãy số     n  v   là cấp số nhân với công bội   a   nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn.   1,0  b) T a đượ c                   1   2  2 1 ...   1  n n  a v   v   v   a                          3   3   3 1   2  2 1 ...   1  n n  a u   u   u   n   a                  3   3   3 1   2  lim   ...   4 n  u   u   u   n            2 1 lim   4 1  n  a a  1,0  Vì     0   1 a   nên     2 1   2   2   1 lim   4   . 1   1   1   2  n  a   a a   a   a                           1,0  4  ( 3 ,0 điểm )  T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 h    : 3 25 . C   Gọi   A   là biến cố   : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi  môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố   A   :  0,5     Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn An h   có   : 1   2 6   5 . C C   khả năng     Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có   : 2   1 6   5 . C   C   khả năng     Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác  (Văn, Tin, Sinh học,   Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý)   có   : 1   1   1 6   5   14 . C C C   khả năng.  2,0 1   2   2   1   1   1   1 6   5   6   5   6   5   14 .   . A   C C   C C   C C C            Vậy xác suất của biến cố   A   là 555   111 (   )   . 2300   460  A  P A              0,5

Đề thi Olympic Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội

1  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019  Môn: TOÁN Ngày thi: 28/3/2019 Thời gian : 180 phút ( không k    th  i gian giao    )  Câu 1. ( 3,50    i  m ) Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số   m : 2   2 2   2   2 x   mx   m   x   mx   m   m                   với   0 m      .  Câu 2. ( 3,50    i  m ) Cho bốn số thực   ,   ,   , p   q m n   thỏa mãn hệ thức                2 0 q   n   p   m   pn   qm                . Chứng minh rằng hai phương trình 2   0 x   px   q          và   2   0 x   mx   n           Câu 3. ( 4,00    i  m ) Cho tam giác   ABC   có các cạnh   BC   =   a ,   AC   =   b ,   AB   =   c . Gọi   I   là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. a)   Chứng minh rằng   a.IA 2   + b.IB 2   + c.IC 2   =   abc . b) Chứng minh rằng                   2   2   2   6 a bc   IA   b ca   IB   c ab   IC   abc                   . Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.  Câu 4. ( 4 , 00    i  m ) Cho   x ,   y ,   z   là 3 số thực thỏa mãn   2   2   2   1 x   y   z          . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2019 P   xy   yz   zx          . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   2 Q   xy   yz   zx          .  Câu 5. ( 3,00    i  m ) Cho dãy số thực       n x   thỏa mãn điều kiện      1 0   1 ,   1, 2,3,... 1 1   4  n n   n x n x   x                        a) Chứng minh rằng   1   1 ,   1, 2,3,... 2   2  n x   n n             b) Tìm giới hạn của dãy       n x   .  Câu 6. ( 2,00    i  m ) Cho hàm số   f   liên tục trên      , thỏa mãn i)       2020   2019 f      ; ii)             4 .   1, f   x   f   x   x          , trong đó kí hiệu                   4   ( ) f   x   f   f   f   f   x    . Hãy tính       2018 f   .  ---------Hết--------- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.  Họ và tên thí sinh: ................................................ Số báo danh: ................................. Chữ kí giám thị 1: ................................... Chữ kí giám thị 2: ........................................ 2  HƯỚNG DẪN CHẤM THI  ( G  m có 5 trang )  1.   Hướng dẫn chung  - Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. - Điểm bài thi không làm tròn số.  2.    CÂU        1   Giải và biện luận bất phương trình sau theo   m : 2   2 2   2   2 x   mx   m   x   mx   m   m                   với   0 m      .   3,50 đ   2 2 2 0 0 0 0  mx   m x   mx   m   x   m x   mx   m m                                           (1).   0,50 đ     2 2   ;   0 t   mx   m   t          . Thì 2   2 4 4  t   m x   m      ;      2 2   2 2   2 2 4 2   4   4   2  t   m t   m t   m x   mx   m   t m   m   m                       ; Và       2 2   2 2   2 2 4 2   4   4   2  t   m t   m t   m x   mx   m   t m   m   m                         1,00 đ  Khi đó bất phương trình đã cho là:   2   2   4   ,   0 (2). t   m   t   m   m m                0,50 đ  Vì   0,   0 m   t       nên   2   2 t   m   t   m          nên: (2)   2   2   4   2   2   ,   0 t   m   t   m   m   t   m   m   t m                              2   0   0   2 t   m   t   m                  0,50 đ  Nghĩa là   2   2   2 0   2   2   2   2   . mx   m   m   m   mx   m   m   x   m                           Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:       ;2 S   m   m    .   1,00 đ  2  Cho 4 số thực   ,   ,   , p   q m n   thỏa mãn hệ thức                 2 0 q   n   p   m   pn   qm                (1). Chứng minh rằng 2 phương trình   2   0 x   px   q          (2) và   2   0 x   mx   n          (3)  biểu diễn trên trục số.  3,50 đ  Từ điều kiện                 2 0 q   n   p   m   pn   qm                suy ra   0 p   m       .   0,50 đ

Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Phú Yên

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN  TR    THPT NGUY    XUÂN ÔN     CHỌN        HỌC SINH GIỎI  NĂM HỌC 2019   - 2020  MÔN TOÁN 11  Thời gian: 150 phút   (Không kể thời gian giao đề)  Câu 1   (6 ,0 điểm ) Giải phương trình   và hệ phương trình   sau: a)   (   )   (   ) 3 sin 2   1   2sin   1   sin 3   cos 2   sinx   0 x   x   x   x +      +         = b)   3   2   3   2 20   6   17   5   3   6   3   5 (   3   8)   2   5x   3   5   12  x   y   x   x   y   y x   y   x   x   y   x              =              +   +   +   =   +   +    Câu 2   (5,0    ) a)   Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45 .  b)   Cho dãy số ( u R  n R ) xác định bởi   (   )  1 3   2 1 2 (   1)   3   2   2   1 ,   * n n u n   u u   n   n   n   n   N n  + =      + =   +   +   +   +       Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( u R  n R ).  Câu 3 (   5,0    )  a) Cho t    di    ABCD, trên hai c    AD và BC l    lượt   l    các    i    M và N sao cho 1 D   2  AM   CN M   NB  =   =   . Hai    i    E, F l    lượt   thu    BM và DN sao cho   / / EF   AC   . Tính t    s    EF AC   .  b) Cho hình chóp S.ABCD có      / / AD   BC   và   AD   2 BC =   .   Gọi  O là giao      của AC và   BD,    song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường   thẳng song song với SO cắt   các  mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại   các điểm E, F, G và   H.  Chứng minh rằng:   2(   )   4   9 MF   ME   MG   MH   SO +   +   +   =   .  Câu 4   (2 ,0 điểm )   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ   Oxy , cho tam giác   ABC   nhọn có   (3;   1) M     là trung điểm cạnh   BC,      E(1;3)   . Điểm   D(4;   2)     qua   tâm      tròn   ngoại   tiếp   tam   giác   ABC,      C   thuộc      thẳng   d:  2   3   0 x   y +      =   và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .  Câu 5   ( 2,0 điểm )   Cho ba số không âm   a, b, c   thỏa mãn   a + b + c   0   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :   (   ) 3   3 3 a   b   ac(a   c)   bc(b   c)   5abc P   a   b   c  +   +      +       =   +   +   .  ... Hết ...  Học sinh không được sử dụng tài liệu ......... Giám thị không giải thích gì thêm.        CHỌN HỌC SINH GIỎI   VÒNG   2 NĂM HỌC 2019   - 2020 (    trang ) Câu   Nội dung    1a)   (   )   (   ) 3 sin 2   1   2sin   1   sin 3   cos 2   sinx   0 x   x   x   x +      +         =   3.0  Ta có  (   )  (   )  (1)   3 sin 2   1 (2sin   1)   2cos 2 sin   cos 2   0 3 sin 2   1 (2sin   1)   cos 2 (2sin   1)   0  x   x   x   x   x x   x   x   x     +      +      =    +      +      = 1.0  (   ) (   )   2sin   1   0 2sin   1   3 sin 2   1   cos 2   0   3 sin 2   cos 2   1   0  x x   x   x   x   x     =        +   +   =      +   +   =  0.5 * 2 1   6 2sin   1   0   sinx   5 2   2 6  x   k x x   k             =   +     =      =       =   +   0.5 * 3   1   1 3 sin 2   cos 2   1   0   sin 2   cos 2 2   2   2 2   2 6   6   6 sin   2   sin   7 6   6   2   2 6   6   2  x   x   x   x x   k   x   k x x   k   x   k                    +   +   =      +   = −     +   = −   +   = −   +                  +   =                                        +   =   +   =   +       0.75  Vậy PT đã cho có nghiệm   2   ,   ,   , 6   6   2  x   k   x   k   x   k   k        =   +   = −   +   =   +         0.25  1b)  3   2   3   2 20   6   17   5   3   6   3   5   (1) (   3   8)   2   5x   3   5   12   (2)  x   y   x   x   y   y x   y   x   x   y   x              =              +   +   +   =   +   +    3.0   K: 2 6   0 5   0 2   5   0  x y x   x                    +       t 2 2 6   6 5 5  a   x   x   a y   b b   y      =      =               =    =             Thay vào (1) ta có 2   2 3   3   2   2 2   2 20   17   3(6   )   3(5   ) 3   2   3   2   (   ) 3(   )   2   0 ( Do 3(   3   )   2   0)  a   b   a   a   b   b a   a   b   b   a   b   a   ab   b a   b   a   ab   b     =                 +   =   +         +   +   +   =        =   +   +   +   >  6   5   1 x   y   y   x    =         =      thế vào (2) ta có  1.0 3   2   3   2 3   2   3   2 (   3   3   8)   2   5   3   5(   1)   12 (   3   5)   2   5   3   5   2   5  x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x   x  +      +   +   =   +      +    +   +   +   =   +   +   + 0,25

Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn – Nghệ An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG  TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN    (  )    LỚP 11 - NĂM HỌC 2020-2021  Môn: TOÁN  Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  Họ, tên thí sinh:   ...........................................   Số báo danh:   ..................  Câu 1   ( 6 điểm ): Giải các phương trình, bất phương trình sau:  1)   3 sin 2x   3   6sin   3 cos   0 x   x            2)  2   3   2 3  2 sin (   )   3 cos   (1   3 tan   )  2   4   1  2sin   1  x   x   x  x                3)   2   2   2   3 x   x   x               Câu 2   ( 2 điểm ): Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số   2  3sin 2   2 cos  sin 2   2 cos 2   4  x   x  y   x   x            Câu 3   ( 4 điểm ):  1) Tính tổng   2   2   2  2   3   2020  1   1   1  S   A   A   A             2) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một  khác nhau và chia hết cho 11 đồng thời tổng của 4 chữ số của nó cũng   chia hết cho 11.  Câu 4   ( 2 điểm ): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D  lên AB, BC lần lượt là M(-2;2), N(2;-2). Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là  3x - 5y + 1 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B.  Câu 5   ( 4 điểm ):   Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm  của SA và E là trung điểm của SB; P thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SP.  1)   Dựng giao điểm của DB với mặt phẳng (MPE).  2)   Gọi N là một điểm thuộc cạnh SB, mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q.  Chứng minh   5  SB   SD  SN   SQ       Câu 6   ( 2 điểm ): Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3  Chứng minh rằng P =   3  3   3   3   4  a   b   c  ab   c   bc   a   ca   b                  ------------------   Hết   ------------------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:............................................................   THI HSG   MÔN TOÁN – KHỐI 11- LẦN1- NĂM HỌC 2020-2021  Câu         1   1)   Biến đổi thành   (2sin   1)(   3 cos   3)   0 x   x         giải ta được x=   2  6   k         ; x=   5   2  6   k         (   3 cos   3   0 x         vô nghiệm)  2)Điều kiện   1  in   2  s   x      và   cos   0 x      Biến đổi thành  sin(3   )   s inx  3  6  3   2  x  x   k  k  x                                               7   2   ,   2   ,  6   6   3  x   k   x   k   x   k                             3)Đk   2 x     Bpt đưa về  2  2  (   2   2)   (   2   1)   0  (   3)(   2)   3   0  2   1 2   2  3  x   x   x  x   x   x  x x   x  x                                                       1  1  1  1  1  1  2  Từ gt ta có   (   3) sin 2   (2   1) cos 2   1   4 y   x   y   x   y            Pt trên có nghiệm cho ta   9   6   5   9   6   5  11   11  y                  kết luận GTLN của y bằng   9   6   5  11       GTNN của y bằng   9   6   5  11       0,5  1,25  0,25  3  1)   Ta có   2  1   1   1   1  (   1)   1 k A   k k   k   k               Cho   2, 3,..., 2020 k         1   1   1   1   1  1   .  2   2   3   2019   2020  S                     =   2019  2020  1  1  2)   Gọi số cần tìm là   abcd  (   )   (   ) 11  (   )   (   ) 11  a   c   b   d  a   c   b   d                          suy ra a+c v    b+d      1  Có 2+9=3+8=4+7=5+6 nên có 4.2.3.2=48 s    1

Đề chọn HSG Toán 11 vòng 1 năm 2020 – 2021 trường THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THPT CHUYÊN  LÊ HỒNG PHONG    KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4  LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021  Ngày thi: 03/4/2021  MÔN THI:   TOÁN      KHỐI:   11  THỜI GIAN:   180 phút  Hình thức làm bài: Tự luận     01   trang  Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi  tờ giấy làm bài  -   Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.  Câu 1.   (4,0 điểm)   Cho   , , a b c   là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng:  2   2   2   2   2   2   2   2   2  2   2   2   . a   b   b   c   c   a   a   b   c                              Câu 2.   (3,0 điểm)   Tìm tất cả các hàm số   : (0;   )   (0;   ) f         thỏa mãn điều kiện  (   ( ))   1   y  f   x   f   y   xf   f   x                                       với mọi   ,   (0;   ). x y        Câu 3.   (4,0 điểm)  a. Cho   , m n   là các số nguyên dương sao cho   2 m   n    là ước dương của   1. n     Chứng minh rằng phương trình   2   2   (   ) m   m   n  x   y   x   y          có nghiệm nguyên dương.  b. Có bao nhiêu số nguyên dương   n   sao cho phương trình   304   304   (   ) n  x   y   x   y          có  nghiệm nguyên dương?  Câu 4.   (5,0 điểm)   Cho tam giác nhọn không cân   ABC   nội tiếp đường tròn   (   ). O   Gọi   ,   , A   B   C         là chân đường cao hạ từ các đỉnh   ,   ,   . A B C   Một đường tròn qua   , B   C       tiếp xúc với cung  nhỏ    BC   của   (   ) O   tại   1 . A   Các điểm   1   1 , B C   xác định tương tự.  a. Chứng minh rằng   1  1  cot   .  cot  A B   B  A C   C    b. Vẽ các hình bình hành   1   1 ,   . B ABX   C ACY   Chứng minh rằng các điểm   1 ,   , X   Y   A  và   0 A   thuộc một đường tròn với   0 AA   là đường kính của   (   ). O  c. Vẽ các hình bình hành   1   2   1   2   1   2 ,   ,   . BA CA   CB AB   AC BC   Chứng minh rằng đường tròn  ngoại tiếp tam giác   2   2   2 A B C      . ABC  Câu 5.   (4,0 điểm)   Bộ hai số nguyên khác không       , x y      x   là số lẻ,  y   là số chẵn,   , x y   nguyên tố cùng nhau và   2   2  x   y    là số chính phương.  a. Chứng minh rằng       , x y   là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên   , u v  khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho             2   2  ,   , 2   . x y   u   v   uv      b. Với mỗi “bộ số đẹp”       , x y   ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép  biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên   k   nào đó   vào cả 2 số  sao cho       , x   k y   k       là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp       , x y  và       , z t   cho trước ta luôn có thể biến đổi từ       , x y   thành       , z t   sau hữu hạn các  bước biến đổi như trên.  HẾT  Họ tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ................................  Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .........................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THPT CHUYÊN  LÊ HỒNG PHONG    KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4  LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021  Ngày thi: 03/4/2021  MÔN THI:   TOÁN 11 -   THỜI GIAN:   180 phút  Hình thức làm bài: Tự luận     06   trang  Nội dung     Bài  1  Cho   , , a b c   là các số thực dương thay đổi có tổng bằng 2. Chứng minh rằng  2   2   2   2   2   2   2   2   2  2   2   2   . a   b   b   c   c   a   a   b   c                               4  Cách 1:   Xét       , u   a b      ,       , v   b c      ,       , w   c a       .            ,   2; 2 u   v   w   a   b   c a   b   c                                    Ta có   2   2   2   2   2   2   2   2 u   v   w   u   v   w   a   b   b   c   c   a                                                        .  Cách 2:   Ta có       2  2   2   2   2  2   2  a   b   a   b  a   b   a   b                      .  Tương tự cho các số hạng còn lại, ta được      2   2   2   2   2   2   2   2   2 a   b   b   c   c   a   a   b   c                            .  2  Do bất đẳng thức đối xứng nên ta có thể giả sử       min   , , a   a b c    .  Ta có  2  2   2   2   2   2  4   2  a   a  a   b   ab   b   a   b   b                         .  2  2   2   2   2   2  4   2  a   a  a   c   ac   c   a   c   c                         .  2   2   2   2   2  b   c   a   b   c             .  Cộng vế với vế, ta được  2   2   2   2   2   2   2   2   2  a   b   b   c   c   a   a   b   c   a   b   c                                 2   2   2   2   2   2   2   2   2  2 a   b   b   c   c   a   a   b   c                               .  2

Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM

SỞ   GIÁO   DỤC   VÀ      TẠO   HÀ   NỘI  TRƯỜNG   THPT   LƯU   HOÀNG    NĂM HỌC 2020      2021  Môn thi:   Toán   -   Lớp: 11  (Thời gian làm bài: 12 0   phút, không kể   thời gian   giao đề)  Câu 1   (5    ).   Cho phương trình: cos 2 x      2cosx + m = 0 (1),   (với m là tham số).  a)   Giải phương trình với m =   -3. b) Tìm   m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0;    /2].  Câu 2   (5    ). a) Trong m    ph    t       Oxy.   Cho hàm số 3 2 2       x x y   có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến   v       th    (C) , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam  giác vuông cân. b)   Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác  trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Tính xác suất để chọn    vi.  Câu 3   ( 5    ). a)   Cho dãy số (u n ) thỏa mãn:                2 2 1 2 5  2 1 1  n n n   u u u u *) (   N n      . Tìm              n k   k u 1  1 lim   . b)   Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng   9   hàng năm người đó đóng vào công ty là   12  triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6%   / năm. Hỏi sau đúng   18   năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân).  Câu 4   ( 4    ).   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .    SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 0  60 .   Gọi N là trung điểm của  BC.  a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN.  b) Gọi H, K là hai điểm lần   lượt thuộc các đường thẳng SB và DN   sao cho HK     SB, HK      DN.   Tính độ dài đoạn HK theo a.  Câu 5   ( 1    ). Cho x, y    R thoả mãn: x 2   + y 2   = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 2 2 ) 6 ( 2   2 2      y xy xy x   . ---------- HẾT ----------  Cán   bộ   coi thi không   giải   thích gì thêm!  Họ   và tên thí sinh: ......................................   Số   báo danh: ................  Chữ   ký giám   thị   coi thi   số   1:   Chữ   ký giám   thị   coi thi   số   2:  SỞ   GIÁO   DỤC   VÀ      TẠO   HÀ   NỘI  TRƯỜNG   THPT   LƯU   HOÀNG  HƯỚNG DẪN CHẤM  KỲ   THI CHỌN H   N       2021  Môn thi:   Toán   -   Lớp: 11  I. Hướng dẫn chung  1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.  2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với   thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.  3. Thang điểm được tính đến 0,25. Sau khi cộng điểm toàn bài, không làm tròn .  II. Đáp án và thang điểm  Câu       Câu 1  (5 điểm)  a) Với m =   - 3, phương trìn h có dạng:   cos 2 x      2cosx      3 = 0   0.5 cos   1 (N) cos   3 (L)  x x  0.5  Với cosx =   - 1 2   (k   Z) x   k   .   0.5  Vậy phương trình có họ nghiệm là: 2   (k   Z) x   k   0.5  b) Đặt t = cosx, x      [0;    /2]      t      [0; 1 ].   0 . 5  Khi đó phương trình đã cho      m =   - t 2   + 2t, t      [0; 1] (*).   0 . 5  Xét hàm số: f(t) =   - t 2   + 2t, t      [0; 1].  1 . 0        x      [0;    /2]      phương trình (*) có nghiệm   t      [0;  1] 0   1 m   . Vậy m      [0; 1] .   1 . 0  Câu 2  (5     a)   1.0  1.0  (vì qua gốc tọa độ O).   0.5  0.5  a) Gọi A là biến cố:    Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3      Giả sử đa giác đều đã cho nội tiếp đường tròn (C) .  Vì tam giác vuông tạo th   vuông đó có cạnh huyền là đường chéo của đường tròn (C).  0.5  Suy ra số tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều là:  9.16=144 2 144 (   ) n   C       0.5  Vì hai tam gi   nên hai tam giác này có cùng chu vi khi và chỉ khi chúng là hai tam giác bằng nhau.  Trong 144 tam giác vuông này chia đều thành 4 nhóm tam giác bằng nhau có chu vi  của mỗi tam giác ở hai   nhóm khác nhau là khác nhau 2 36  (   )   4 n A   C       .  0.5 2 36 2 144  4 (   )   35 (   )   (   )   143  C n A P A   n   C              0.5  

Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU  TỔ TỰ NHIÊN    NĂM HỌC 2020 - 2021  Môn: TOÁN   -   L      Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)  Câu 1: (2 điểm)  a)   Giải phương trình:   sin 3   3 cos 3   2sin 2 x   x   x       .  b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình       cos 2   7 cos   3 sin 2   7sin   8 x   x   x   x             trên đoạn       2   ; 2        Câu 2: (2 điểm)  a)   Tìm số hạng chứa   3  x   trong khai triển  9  1   .  2  x   x                  b)     phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng   0, 2     trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải  nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn  hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghìn).  Câu 3:(1 điểm)   Tìm tất cả các số thực   x      , 2 , 4 x   x       theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.  Câu 4: (2 điểm)   Tính các giới hạn sau:  a)       1   1  lim   16   4   16   3 n   n   n   n  I                    b)        2   3  1  2   7   1  lim   2   1 x  x   x   x  J   x                   Câu 5: (1,5 điểm)  Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình bình hành, mặt bên   SAB   là tam giác vuông tại   A   ,  3 SA   a    ,   2 SB   a    . Điểm   M   nằm trên đoạn   AD   sao cho   2 AM   MD    . Gọi       P   là mặt phẳng qua   M   và  song song với       SAB   .  a)   Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.  b)   Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng       P   .  Câu 6: (1,5 điểm)  a) Giải hệ phương trình  2   2  4   8   17   1  21   1   2   4   3  x   x   x   y   y  x   y   y   y   x                                                .  b) Cho dãy số       n u      1   *  1  4   ,   .  9   4   4 1   2 n   n   n  u   n  u   u   u                           Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số       n u   và tính   lim   n u  ----------------- Hết ----------------  ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )  Họ và tên thí sinh:...............................................  S     Chữ ký của giám thị:...........................Câu 1:  a) Giải phương trình sau   sin 3   3 cos 3   2sin 2 x   x   x       .  Ta có :   1   3  sin 3   3 cos 3   2sin 2   sin 3   cos 3   sin 2  2   2  x   x   x   x   x   x                (0.25)  3   2   2  3  sin   3   sin 2  3   3   2   2  3  x   x   k  x   x  x   x   k                                                                             2  3  2   2  15   5  x   k  k  k  x                                         (0.5)  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm   2   2  2   ;  3   15   5  k  S   k   k                                         .   (0.25)  b) Ta có:            cos 2   7 cos   3 sin 2   7 sin   8   cos 2   3 sin 2   7 cos   3 sin   8   0 x   x   x   x   x   x   x   x                              2  cos   2   7 sin   4   0   2sin   7 sin   3   0  3   6   6   6  x   x   x   x                                                                                                              (0.25)  1  sin   6   2  sin   3(   )  6  x  x   VN                                                           (0.25)  Ta có:  2 2  1   6   6  sin   2  5 6   2   2  2   3  6   6  x   k x   k  x   x   k  x   k                                                                                            (0.25)  Vì         4   2  2   ; 2   2   ;   ; 0;   ; 2  3   3  x   x                                           .   (0.25)  Câu 2:  Câu 030.   Tìm số hạng chứa   3  x   trong khai triển  9  1   .  2  x   x                  B1.X.T0  Lời giải  Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có  9   9   9  9  0  9   9   2  9  0  1   1  .   .   0.25  2   2  1  .   .   .   0.2 5  2  k  k   k  k  k  k   k  k  x   C   x  x   x  C   x                                                                     Hệ số của   3  x      9   2   3   3   0.25 k   k            Vậy số hạng cần tìm   3   3  9  1   .  8   C x   0.25  b) Gọi   x   là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu còn lại.  Số điểm học sinh đó đạt được là   5   0, 2 x    .   (0.25)  TRƯỜNG THPT MINH CHÂU  TỔ TỰ NHIÊN  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI  NĂM HỌC 2020 - 2021  Môn: TOÁN – Khối 11

Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Minh Châu – Hưng Yên

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH    K    LỚP 11   NĂM HỌC   2021 - 2022  VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG  QUỐC GIA NĂM HỌC   2022 - 2023  Khóa ngày   25   tháng   4   năm 20 2 2  Môn thi:   TOÁN  SỐ BÁO DANH:...............  VÒNG 1  Thời gian: 1 8 0 phút   (không kể thời gian giao        01   trang   v à   05   câu  Câu 1   ( 2,0 điểm ).  a.   Giải phương trình 2   2  2sin   2sin   tan 4  x   x   x                        .  b.   Chứng minh rằng phương trình 2   2022   2   2  2   0 m x   x   x   m             luôn có ít nhất hai nghiệm  phân biệt   với mọi tham số   m.  Câu 2   ( 2,0 điểm ).  a.   Cho n   là số nguyên dương thỏa mãn 1   2  1.   2.   ...   .   16 n n   n   n C   C   n C   n             .   Tìm hệ số của số  hạng chứa 7  x   trong khai triển của nhị   thức 2   1 2   2   n  x   x                   , 0 x      .  b.   Cho cấp số cộng      n u   có   c    số nguyên và   công sai d   là một số  dương. Biết rằng 20   0 u   m       và 17 m u      . Tính 2022 u   .  Câu 3   ( 2,0 điểm ).  a.   Tính giới hạn 3 2 0  1   2   1   3 lim   .  x  x   x x           b.   Cho dãy số      n u   xác định bởi: 1   9 u      và            1 3   5   22 n   n n   u   n   u              với mọi 1 n      .  Tính giới hạn 2  2021 lim   . 25   4   2022  n u n   n      C    4   ( 3,0 điểm ).   Cho hình chóp . S ABCD   có đáy ABCD   là   hình chữ nhật , SA   vuông góc  với mặt phẳng      ABCD   và ,   , SA   a AB   b AD   c          . Gọi H   là hình chiếu vuông góc của A  lê n   mặt phẳng      SBD   .  a.   Trong trường hợp 7,   1 SA   AB   AD          , gọi      P   là mặt phẳng đi qua A   và vuông  góc với SC   .   Hãy x  . S ABCD   khi cắt bởi mặt phẳng      P  và tính   diện tích thiết diện đó.  b.   Chứng minh rằng H   là trực tâm   của   tam giác SBD   .  c.   Chứng minh rằng 3 .   .   .   2  HBD   HSD   HSB  abc a S   b S   c S          , ở đây k  XYZ S   là   diện tích  của   tam giác XYZ   .  Câu   5   ( 1,0 điểm ). Gọi S   là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. Một số  thuộc S      số    thú vị    nếu số đó là hợp số và không chia hết cho ba số 2; 3; 5   .  Chọn ngẫu nhiên một số từ S   , t      ------------- HẾT   -------------1  SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH  HƯỚNG DẪN CHẤM  K  N HSG   LỚP 11   NĂM HỌC   2021 - 2022  VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG  QUỐC GIA NĂM HỌC   2022 - 2023  Khóa ngày   25   tháng   4   năm 20 2 2  Môn thi:   TOÁN  VÒNG 1   á   p   á   n n à   y   gồm có   06   trang  YÊU CẦU CHUNG  *      m của học sinh yêu cầu  phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.  *   Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở b    những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì  ch o điểm 0.  *     thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.  *   Học sinh có lời giải khác đáp á n (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điể   m  của từng câu.  * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.  Câu   N    i dung       m  1a   Giải phương trình 2   2  2sin   2sin   tan 4  x   x   x                        .   2  x   k          2 2  1   cos   2   2sin   tan 2 1   sin 2   2sin   tan  pt   x   x   x x   x   x                                       0.25             2   2  cos   2sin   cos   2sin   cos   sin sin   cos   2sin   cos   sin   cos   0 sin   cos   1   sin 2   0  x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x x   x   x                                    0.25 sin   cos   0 1   sin 2   0 tan   1 sin 2   1  x   x x x x                    0.25         4 4  x   k   TM x   k   TM                             Vậy phương trình có   nghiệm là 4  x   k            và 4  x   k            .  0.25

Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Quảng Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH   LỚP 11 THPT - KHÓA NGÀY 24 - 05 - 2020     Môn thi:   TOÁN  Thời gian: 150 phút   (không kể thời gian phát đề)  Ngày thi: 24/05/2020  Bài 1 :   (5,0 điểm)  1. Giải phương trình:         2 sin   3 cos   cos   4   5. 3  x   x   x                          2. Giải hệ phương trình:       2 3 2   2 (   ) . 2   3   2   1   11  y x   x   y   x   y x   y   x                                Bài 2 :   (5,0 điểm)  1.   Cho   khai triển:       11 2   3   10   2   3   110 0   1   2   3   110 1   . x   x   x   x   a   a x   a x   a x   a   x                            Chứng minh đẳng thức sau:   0   1   2   3   10   11 11   0   11   1   11   2   11   3   11   10   11   11   11. C a   C a   C a   C a   C   a   C   a                  2. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số mà có tổng các chữ số của nó là bội số của 4.  Bài 3 :   (3,0 điểm)  Cho dãy số       n u           1 * 1 4 . 1   4   4 1   2   , 9  n   n   n u u   u   u   n   N                           Tính lim   . n u  Bài 4 :   (7,0 điểm)  1. Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy   , cho hình vuông   ABCD   tâm   I . Các điểm       1; 2 G   ,       1;   2 E        lần lượt là trọng tâm của tam giác   ABI   và tam giác   ADC . Tính độ dài cạnh hình vuông   ABCD  biết tung độ đỉnh   A   lớn hơn 0. 2. Cho tam giác   ABC   và   M   là điểm thay đổi trên cạnh   BC . Gọi   P ,   Q   lần lượt là điểm đối xứng của   M   qua   AC ,   AB . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác   APQ   lấy điểm   N   sao cho   AN   song song với   BC . Chứng minh rằng đường thẳng   MN   luôn đi qua một điểm cố định khi   M   di động trên cạnh   BC .  -------------------- HẾT --------------------  https://toanmath.com/

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định

S    G IÁO   DỤC   VÀ      TẠO  L    S   K    THI   CHỌN   HỌC   SINH   GIỎI   CẤP   TỈNH  LỚP   1 1   NĂM   HỌC   20 20   -   20 21  M  n thi:   TO    lớp 1 1   CHUY   Th  i gian:   180   ph  t ( kh  ng k    th  i gian giao    )  Ng  y thi:   18/3 /20 2 1  (    thi g  m   0 1   trang,   05   c  u )  Câu 1   (5    i  m) .   Giải hệ phương trình   sau trên tập số thực   .      2   3   2 4   2  1 2   1   1  x   x y   xy   xy   y x   y   xy   x                                   Câu 2   (6    m) .   ho   số     n u   c   nh   i 1 2   * 1   2   2, n   n   n  u   m u   u   u   n                         a) Khi 3 2  m      , c h ng minh   số c   gi   i   h n h u h n v   tìm gi i h n  c   nh t t cả c c gi   tr c a m   số     n u   c   gi i h n h u h n .  Câu 3   (2    m) .   Tìm t   t cả c    h m số : f      thỏa m n   i                  1   1 ,   , f   x   f   y   yf   f   x   x y                               .  Câu 4   (5    m) .   ho    O    AB   . L   i m H   trên   o n thẳng AB  ( H   không trùng ,   , A O B   )    H   vuông g c v i AB   cắt        O  t i C       CH   cắt , AC BC   và     O   lần lượt t i , D E   và F   . a)   h ng minh rằng   các    , AB DE   và CF     b)    C   bán kính CH   cắt     O   t i P   và Q   h ng minh rằng   b  i m ,   ,   , P D E Q   thẳng h ng  Câu 5   (2    m) .   ho 167 tập hợp 1   2   167 ,   ,   , A   A   A    có tính c h t:  i) 6 2 1   1 7   2004; A   A   A        ii) . i   j   i   j A   A   A   A       v i ,   1,2,   ,167 i j         và i  j   . Hãy:  a   h ng minh rằng |   |   12 i A      v i 1,2,...,167. i     b) Tính 167 1  . i i  A      -------------------- Hết ---------------------  Họ v   tên thí sinh: ..........................................   Số   o   anh:   ........................  h   kí gi m th số 1:...........................   h   kí gi m th số 2:..............................     THI   HÍNH THỨSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  LẠNG SƠN  K    T HI C HỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH  LỚP 1 1   NĂM   HỌC 20 20   -   20 21  HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN   TOÁN   LỚP 11   CHUYÊN  (Hướng dẫn chấm gồm   03 trang )  Chú ý:   Nh ng c ch giải kh c HD   m      i m theo thang   i m   nh  Câu   Nội dung     1  ( 5                    2   2 2 2  1 1 1  x   y   xy x   y   xy x   y   xy                                 1.0   2  a   x   y b   xy                . H    tr   th nh:  2  1   * 1  a   ab   b a   b                         2 3   2 2   2  2   0 2   0 *   1   1  a a   a a   a   a b   a   b   a                                                   Từ   ta c :                     ;   0;1 ; 1;0 ;   2;   3 a b           1.0  V i           ;   0;1 a b      ta c   hệ: 2   0   1 1  x   y   x   y xy                         1.0  V i           ;   1;0 a b      ta c   hệ:                      2   1   ;   0;   1 ; 1;0 ;   1;0 0  x   y   x y xy                            1.0  V i           ;   2;   3 a b            ta c   hệ: 2   2 3  x   y xy                      2 3  3 3 1;   3 1   3   0 2   3   0  y y   x   x   y x x   x   x x   x                                                         Kết luận: Hệ phương trình c   c c ng hiệm:                           ;   1;1 ; 0;   1 ; 1;0 ;   1;0 ;   1;3 x y              1.0  2  ( 6      a ) B    q uy n   p ,   ch   ng minh         1; 2 n u     1   1.0  X            2   2   2,   1;2 f   x   x   x   x                     '   2   2   0,   1;2 f   x   x   x             0.5  C  2 2   1   1   1  5 2   2   4  u   u   u   u                .   Suy ra     n u   l        2   1 .0  T      1 , 2   suy   ra     :lim   0   2 n L   u   L   L                .  Chuy   n qu a gi   i   h   n ,     2   1 ( /   ) 2   2   2 ( )  L   t   m L   L   L   L   l                    1.0  V  y lim   1 n u      .   0.5  b)   X        2   2   2 f   x   x   x            '   2   2   0   1 f   x   x   x                    1 2  x f   x   x   x             0.5

Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 chuyên năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn

0 S    GIÁO D  C VÀ      O HÀ T  NH     CHÍNH TH  C K    THI CH  N H  C SINH GI  I T  NH C  P THPT N  M H  C 2014-2015 MÔN: TOÁN L  P 11  Th  i gian làm bài: 180 phút  (    thi có 01 trang, g  m 5 câu)  Câu 1.  a) Gi  i ph  ng trình:   2cos 4   cos 2   1   3 sin 2 x   x   x          . b) Gi  i ph  ng trình:   3   2 3 8   10   17   8   24   30   7 x   x   x   x                   .  Câu 2.  a) Cho khai tri  n   0   1 (1   2 )   ... n   n n x   a   a x   a x                , v  i   n   là s    t    nhiên th  a mãn 2   3 1 1   2   1 2   3   ...   78  n n   n   n n   n n   n   n C   C   C C   n C   C   C                   . Tìm s    l  n nh  t trong các s    0   1 ,   ,...,   n a   a   a   . b) Cho tam giác ABC th  a mãn   0 90 C   B   A          . Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c .sin   .sin 2   2   2  A   B   A   B P   cos       .  Câu 3.   Trong m  t ph  ng   (P)   cho n  a    ng tròn   (O)    ng kính   AC,    i  m   B   di    ng trên n  a   ng tròn   (O)   v  i   B   khác   A   và   C   . Trên n  a    ng th  ng   Ax   vuông góc v  i   (P)   l  y    i  m   S  sao cho   SA   AC   a       . G  i   H, K   l  n l  t là chân    ng cao h    t    A   xu  ng   SB, SC . a) Ch  ng minh r  ng tam giác   AHK   vuông. Tính di  n tích tam giác   SBC   theo a bi  t 34 34  a HK      . b) Xác    nh v    trí c  a B trên n  a    ng tròn (O) sao cho t  ng di  n tích các tam giác  SAB   và   CAB   l  n nh  t.  Câu 4.   Cho dãy s    (x n   ) xác    nh nh    sau: 1   3 x      và 3 1   2 2   4 6  n   n n n   n x   x x   x   x                v  i   1, 2,... n     V  i m  i s    nguyên d  ng   n ,    t   2 1 1 4  n n i   i y   x         . Tìm   lim   n y   .  Câu 5.   Cho   x, y, z   d  ng th  a mãn   3   2   6 x y   yz   zx          . Tìm giá tr    l  n nh  t c  a bi  u th  c 2   2   2 1   4   9 1   4   9  P   x   y   z                  .  -------------H  T ------------- - Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay. - Giám th    không gi  i thích gì thêm.  H    và tên thí sinh: .................................................S    báo danh: ............................1  S    GIÁO D  C VÀ      O HÀ T  NH K    THI CH  N H  C SINH GI  I T  NH C  P THPT N  M H  C 2014 – 2015 MÔN: TOÁN L  P 11 H  NG D  N CH  M L  u ý: M  i cách gi  i khác mà      n    u cho    i  m t  ng    ng Câu   N  i dung    i  m Câu 1a 3.0   Ph  ng trình      ng    ng v  i: 2   2 2   3sin 2   2   3 sin 2   0 cos   x   x   cos   x   x             0.5     (   2   3 sin 2 )(   2   3 sin 2   1)   0 cos   x   x   cos   x   x             0.5  2   3 sin 2   0   (1) 2   3 sin 2   1   (2)  cos   x   x cos   x   x                   0.5  Gi  i (1):   1 (1)   tan 2   3  x          12   2  x   k            0.5  Gi  i (2):   (2)      1 sin   2   6   2  x                        6 2  x   k x   k                              0.5  V  y: Nghi  m ph  ng trình     12   2  x   k            ;   6  x   k              ;   2  x   k            v  i   k   Z    0.5  Câu 1b 2.5    t   2 3   24   30   7 x   x   y             (*) , ta có h    : 3 2   3 8   10   17   8   (1) 24   30   7   (2)  x   x   y x   x   y                          0.5  C  ng v    theo v    (1) và (2) ta có:   3   3 (2   2)   8(2   2)   8 x   x   y   y               T    ph  ng trình này rút ra    c:   2   2 y   x       0.5  Th    vào (*) ta    c:   3   1 4   3   2  x   x       (3)   0.25   t x=cost v  i       0; t      ta    c:   1 3   2  cos t     Gi  i ph  ng trình này ta    c:   3   5 ;   ; 9   9   9  t   t   t                 0,5  Do 3 s    5   7 ;   ; 9   9   9  cos   cos   cos              t phân bi  t nên ph  ng trình (3) có     m là:   5   7 ;   ; 9   9   9  x   cos   x   cos   x   cos              0,5  V  y ph  ng trình có 3 nghi  m là:   5   7 ;   ; 9   9   9  x   cos   x   cos   x   cos               0.25  Câu 2a 3.0   Ta có: 2   3 1 1   2   1 2   3   ...   78  n n   n   n n   n n   n   n C   C   C C   n C   C   C                  (   1)   (   2)   ...   1   78 n   n   n                        0.5     2 (   1)   78   156   0 2  n n   n   n                    12 n       0.5

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2014 – 2015 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

S    GD&ĐT VĨNH PHÚC   K    THI CH  N HSG L  P 1 0 ,   11   THPT NĂM H  C 201 6 - 201 7      THI MÔN:   TOÁN   11   -   THPT CHUYÊN  Th  i gian làm bài: 180 phút, không k    th  i gian phát đ  .  Câu 1 (3,0    m).   Cho dãy s    th  c     n x    c xác    nh b  i 0   1   1 1;   20 7 x   x      và 1 2  1   (   1)  n n n x   nx n   x            v  i m  i 1. n     V  i m  i s    nguyên dương , n    t n   n y   nx    và 1   1  .  n k n k   k  x z   x           a. Ch  ng minh r  ng     n y   là dãy s    gi  m. b. Tìm gi  i h  n c  a dãy     . n z  Câu 2 (2,0    m).   Cho ba s    th  c , ,   2 a b c      th  u ki  n 1   1   1   8. a   b   c a   b   c                   Ch  ng minh r  ng     9   3   . a   b   c   ab   bc   ca                  Câu 3 (3,0    m).   Cho tam giác   ABC   cân t  i   A . G  i   D   là trung điể m c  nh   AC   và   M   là trung   m c  nh   BC . Đoạ n th  ng   AM   c  ng tròn ngo  i ti  p tam giác   BCD   t  m   E . Đườ ng th  ng   BD   c  ng tròn ngo  i ti  p tam giác   ABE   t  m   F   khác   B . Đườ ng th  ng   AF   c  t   ng th  ng   BE   t  i   I , đườ ng th  ng   CI   c  ng th  ng   BD   t  i   K . a. Ch  ng minh r  ng . DA   DF   b. Ch  ng minh r  ng   I   là tâm đườ ng tròn n  i ti  p tam giác   ABK .  Câu 4 (1,0    m).   M  t s    nguyên dương   a    c g  i là s    k -   phương     ,   2 k   k         n  u t  n t  i s    nguyên dương   b   sao cho k  a   b    . Cho c  p s    c  ng       0 n   n  a      v  i các s    h  ng là s    nguyên  dương và có công sai bằ ng 2017. Bi  t r  ng có hai s    h  ng m a   và n a   c  a c  p s    c  ng   tương ứ ng là s    i -   phương và số   j -   phương, trong đó     ,   1. i j      Ch  ng minh r  ng t  n t  i m  t s    h  ng c  a c  p s    c  ng là s    ij -   phương .  Câu 5 (1,0    m).   Cho   S   là m  t s    nguyên dương   sao cho   S   chia h  t cho t  t c    các s    nguyên  dương từ   1 đế n 2017. Xét   k   s    nguyên dương 1   2 ,   ,...,   k a a   a   (không nh  t thi  t phân bi  t) thu  c t  p h  p     1,2,...,2017   th  a mãn 1   2   ...   2 . k a   a   a   S             Ch  ng minh r  ng ta có th    ch  n ra t    các s  1   2 ,   ,...,   k a a   a  m  t vài s    sao cho t  ng c  a chúng b  ng . S  -------H  t-------  Thí sinh không đượ c s    d  ng tài li  u. Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm.  H    và tên thí sinh: ..........................................................;   S    báo danh: ........................... .      CHÍNH TH  CS    GD&ĐT VĨNH PHÚC   K    THI CH  N HSG L  P 10 ,   11   THPT NĂM H  C 201 6 - 201 7     11 -   THPT CHUYÊN  I. LƯU Ý CHUNG:  -   Hướ ng d  n ch  m ch    trình bày m  t cách gi  i v  i nh  n ph  i có. Khi ch  m bài h  c sinh làm theo cách khác n      m t   -    n 0,25 và không làm tròn. - V  i bài hình h  c n  u thí sinh không v    hình ph  ng v  i ph   II. ĐÁP ÁN:  Câu   N  i dung trình bày     m  1   a   ( 2,0     m)  Ta th  y ngay 0,   0. n x   n          0,5  Ta có 2 1   1  (   1) (   1)   0,   1. 1   (   1)   1   (   1)  n   n n   n   n   n   n n   n  n n   x   nx y   y   nx   n   x   nx   n n   x   n   x                                                1,0  Suy ra dãy     n y   gi  m.   0,5  b ( 1,0     m)  Dãy     n y   gi  m và 0, n y   n       nên     n y   h  i t  .     t lim   0. n n  y   a         Ta có     1 0   lim   lim   lim   . 1 1   (   1)   1 1   (   )  n   n n   n n   n   n n   n  nx   nx y   y   n n   x a a nx n                                   Do đó 0. a      0, 2 5  T    gi    thi  t suy ra 2   1 1   1   1 (   1)   (   1)   . n n   n   n   n   n   n n  x x   n   x x   nx   nx   n   x x                               0,2 5  Do đó 1   1 1 1   2 1   0   1   0  4034   ,   1.  n   n k   k n   n k   k k   k n  x   x x   x   y z   x   n x   x   x   x   nx                                           0, 2 5  V  y 4034. lim   n n  z       0,25  2   ( 2,0     m )    t x   a   b   c          . Ta có 1   1   1   9   9 8   8   . a   b   c   x a   b   c   a   b   c   x                                    0,5 2   8   9   0   9. x   x   x                  V  y b  t đ  ng th  c th    nh  t đư  c ch  ng minh .   0,5  Ta có 2   2   2   2   2   2 2   16   19   2   (1)  a   b   c x   x a   b   c   a   b   c                                     ng b  t đ  ng th  c Cauchy - Schwazt ta đư  c:                                      2   2 2   2   2  2   2   2   6 2   2   2   (2) 2   2   2   2  a   b   c   x a   b   c a   b   c   a a   b b   c c   a   b   c   x                                                                     0,25  T    (1) và (2) suy ra            2   2 2   2   2 2   2   2  6   6 19   2   2   (3). 2   19   2  x   x x   a   b   c   x a   b   c   x   x                                     0,25  BĐT th    hai tương đương v  i           2   2   2   2  27   54 ab   bc   ca   a   b   c   a   b   c                             2   2   2   2   54. a   b   c   x                0,25  (Đáp án có   04   trang)

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

Trang 1/1  Câu 1. (6,0    m) a. Giải phương trình:   (   ) sin   sin   cos   1 x   x   x +   =   .  b. Tìm số hạng chứa   8  x   trong khai triển   5 3 1   n x x      +           , biết   (   ) 2 3   7   3 n C   n +   =   +   .  Câu 2. (4,0    m)  Cho hình chóp   . S ABCD   có đáy   ABCD   là hình chữ   nhật   và   SA   vuông góc  v  ng   (   ) ABCD   . Bi    ,   3 AB   a BC   a =   =   và   5. SD   a =    ng qua  A   vuông góc vớ i   AC   c  ng   , CB CD   l  i   , I J   . G  i   H   là  hình chiếu vuông góc củ a   A   trên   SC   . G  i   , K L   là giao điểm   c  a   , SB SD   v  i   (   ) HIJ  a. C hứng minh rằ ng   (   ) . AK   SBC   b. Tính khoảng cách từ    n ( HIJ )  Câu 3. (4,0    m)  Gi   5    2   + 14    + 9      2      20 = 5    + 1  Câu 4. (4,0    m)  Cho dãy số   (   ) n u   xác định bởi   1 n u   >   và   2   1   1 n n   n u   u +   =   +   với   1, 2,3,... n   =  Tính giới hạn   lim   n n   u    .  Câu 5. (2,0    m)  Trên một đường thẳng có   n     u xanh và   n    ng  minh rằng tổng tất cả   các khoảng cách giữa các cặp điểm cùng màu bé hơn hoặ c b    các khoảng cách giữa các cặp điểm khác màu.  --- H  t---  UBND T  NH LAI CHÂU  S    GIÁO D  O K         NĂM HỌ C 2017-2018  Môn:   Toán Th    180 phút   (không k    th  )  Ngày thi:   22/4/2018      THI CHÍNH TH  C  (Đ    thi có 01 trang) M  Môn: Toán  A.   Hướ ng d  n chung: -   Bài thi ch  m 20; l  m  -   HS trình bày theo phương pháp khác mà chính xác cho điể m tuy  i  B.   Hướ ng d  n c    th    :    m cho t  ng câu  Câu 1.(6    m)    Nội dung    a)  Ta có   (   ) sin   sin   cos   1 x   x   x +   =   2 sin   sin   cos   1   0 x   x   x    +      =   0,5  2 sin   cos   cos   0 x   x   x       =   0,5  (   ) cos   sin   cos   0 x   x   x       =   0,5  cos   0 sin   cos   0  x x   x  =        =    0,5  (   ) 2 4  x   k k x   k      =   +                =   +          1,0 b)  Theo đề bài ta có .   (   )(   ) 2 3 3   2 2  n n   n C   + +   + =   0,5  Vậy   (   )(   )   (   )  3   2   7   3   12 2  n   n   n   n  +   +   =   +      =   0,5  Số hạng tổng quát   (   )   5 3 12   2 12   .   .  k k k C   x   x        suy ra   0,5  (   )   5 3 12   8 2   8  k k x   x   k        + =      =   0,5  Số hạng chứa   8  x   trong khai triển   8 12   495 C   =   1,0  UBND T  NH LAI CHÂU S    GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  K    THI CH  N H  C SINH GI  I L  P 11 C  P T  NH  NĂM HỌ C 2017-2018

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Lai Châu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH    ( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018  Môn thi:   TOÁN LỚP 11  Thời gian làm bài:   180   phút  Câu 1. (5 điểm)  a) Giải phương trình   3   sin   cos 3tan2   2cos 2   2 cos 2   sin   cos  x   x x   x   x   x   x               .  b) Tính giới hạn       2   5 0 2017   1   5   2017 L   lim  x x   x x            .  Câu 2. (5 điểm)  a) Năm 2018 là năm kỷ niệm 50 năm Chiến thắng Đồng Lộc (24/7/1968-24/7/2018), trường học X cho học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 10, khối 11 của trường về tham quan khu di tích Ngã ba Đồng lộc. Biết rằng đội tuyển Toán khối 10 có 4 em gồm 2 nam, 2 nữ; đội tuyển Toán khối 11 có 4 em gồm 3 nam, 1 nữ. Trong đợt tham quan thứ nhất, trường chọn 3 học sinh với yêu cầu có cả đội tuyển 10, cả đội tuyển 11; có cả nam và cả nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. b) Cho   n   là số tự nhiên thỏa mãn   0   2   2   2016   2016   1 2017   2017   2017 3   ....   3   2 (2   1) n   n C   C   C                   .   Tìm hệ số của số hạng chứa   2016  x   trong khai triển   2 (   2) (   4) n x   x   x          .  Câu 3.   (5 điểm)  Cho hình chóp   S.ABC   có đáy là tam giác đều cạnh   2 a   ,   H   là trung điểm của   AB , (   ) SH   ABC    ,   SH   x    . Gọi   M   là hình chiếu vuông góc của   H   lên đường thẳng   AC   và   N  là điểm thỏa mãn   M H   HN          .  a) Khi   3 2  a x      , chứng minh đường thẳng   SN   vuông góc với mặt phẳng   (SAC) . b) Tìm   x   theo   a      SB và   mặt phẳng   (SAC)   bằng 45   0   .  Câu 4.   (2,5 điểm)  Cho   1 a      và dãy số   (   ) n x   xác định như sau:  1 x   a    ;   2 1   .   3   2018 n   n   n x   a x   x             với   1, 2,... n     Tìm   a      1 lim   2018 n n x x        .  Câu 5.   (2,5 điểm)  Cho các số thực   ,   , x   y z   thỏa mãn   4   4   4   2   2   2 2   1 x   y   z   x y z             . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2   2   2   2 P   x   y   z   xyz             .  -------------------------- Hết -------------------------- -   Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay.  -   Giám th    không gi  i thích gì thêm.  Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh: ....................   Câu 1. a)      cos 2   0   cos 2   0 cos   sin   0  x   x x   x                   Khi đó phương trình đã cho trở thành:          3sin 2   3   sin   cos   3sin 2   3   cos   sin 2   2 cos 2   0   2   2 cos 2   0 cos 2   sin   cos   cos   sin   cos   sin   sin   cos                                          x   x   x   x   x   x x   x x   x   x   x   x   x   x   x   x                  2   2   2 2 3sin 2   3   2 cos   sin   2 cos 2   0   3sin 2   3   2 1   sin 2   2 1   sin 2   0 1 2sin 2   sin 2   1   0   sin 2   1;sin 2   2                                                        x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x  +)   sin 2   1   cos 2   0 x   x          không thỏa mãn ĐK +)   1 sin 2   2  x      (thỏa mãn ĐK)        2   2 6   12 7 2   2 6   12  x   k   x   k k x   k   x   k                                                                  b)   I =             5 2   5 5 0   0 2017   1   5   1 2017   1   5   2017 lim   lim   1   5  x   x x x   x   x   x x   x                                          Ta có:   5 0 lim   1   5   0  x   x   x                                         5 0   0   4   3   2 5   5   5   5 2017   1   5   1   2017( 5 ) lim   lim 1   5   1   5   1   5   1   5   1  x   x x   x x   x   x   x   x   x                                                               0   4   3   2 5   5   5   5 5.2017 lim   2017 1   5   1   5   1   5   1   5   1  x x   x   x   x                               Câu 2. (5 điểm) a)   Ta xét các trường hợp  TH1 : 2 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11 KN1: 2 nam khối 10, 1 nữ khối 11 có   2   1 2   1 .   1 C   C      cách KN2: 2 nữ khối 10, 1 nam khối 11 có   2   1 2   3 .   3 C   C      cách KN3: 1 nữ và 1 nam khối 10, 1 học sinh khối 11 có   1   1   1 2   2   4 .   .   16 C C C      cách Vậy TH1 có 20 cách chọn  TH2:   2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 KN1: 2 nam khối 11, 1 nữ khối 10 có   2   1 3   2 .   6 C   C      cách KN2: 1 nữ và 1 nam khối 11, 1 học sinh khối 10 có   1   1   1 3   1   4 .   .   12 C C C      cách Vậy TH2 có 18 cách chọn  K  t h  p hai tr  ng h  p ta th  y có 38 cách ch  n  b)   Ta có   0   1   2   2   2016   2016   2017   2017   2017   2017 2017   2017   2017   2017   2017 3   3   ....   3   3   (1   3)   4 C   C   C   C   C                         (1) 0   1   2   2   2016   2016   2017   2017   2017   2017 2017   2017   2017   2017   2017 3   3   ....   3   3   (1   3)   2 C   C   C   C   C                         (2) Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có            0   2   2   2016   2016   2017   2017   2016   2017 2017   2017   2017 1 3   ....   3   4   2   2   2   1 2  C   C   C                     Từ giả thiết suy ra   0   2   2   2016   2016   1 2017   2017   2017 3   ....   3   2 (2   1) n   n C   C   C                

Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 11 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

Câu I (4,0 điểm). 1. Giải phương trình   2   2 2 cos   2   3 cos 4   4 cos   1 4   x   x   x                          2. Cho các số   5 ;5   2 ;8 x   y   x   y   x   y          theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số        2 2 (   1) ;   1;   2 y   xy   x          theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm   , x y   .  Câu II (5,0 điểm). 1.   Tính tổng   2   3   4   n  n   n   n   n S   2.1C   3.2C   4.3C   ...   n(n   1)C                  2. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.  Câu III (5,0 điểm). 1.   Tìm   2 2 lim   4   3   2  n   n   n  n   n   n           2.   Giải hệ phương trình 2   2 4   8   17   1 21   1   2   4   3  x   x   x   y   y x   y   y   y   x                                               Câu IV(2,0 điểm).  Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng :   2   1   0 d   x   y          , trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh C.  Câu V (4,0 điểm).  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn   2 BC   a       AD   a    ,   AB   b    . Mặt bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC. 1.   Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi       mp P   . Thiết diện là hình gì? 2.   Tính diện tích thiết diện theo a, b và       , 0   . x   AM   x   b          Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất -----------------Hết-----------------  Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................ Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2     NĂM HỌC 2018 – 2019  Môn thi : Toán – Lớp 11  Thời gian làm bài :   150 phút   (không kể thời gian giao đề)   Huớng dẫn chấm Câu   Nội dung    Câu I.  1   2   2 2 cos   2   3 cos 4   4 cos   1 4   x   x   x                          PT         1 2 cos 1 2 4 cos 3 4 6 cos 1                   x x x    x x x   2 cos 2 4 cos 3 4 sin       0.5  x x   2 cos 6 4 cos                  0.5                      2 2 6 4 2 2 6 4  k x x k x x      Z k k x k x                    12 3 36  1.0 2      5 ;5   2 ;8 x   y   x   y   x   y          theo thứ tự lập thành CSC nên ta có:         5   8   2 5   2  2   1  x   y   x   y   x   y  x   y                    0.5                2   2  1   ;   1;   2 y   xy   x          theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có:                        2   2   2 1   2   1   2 y   x   xy            0.5     Thay (1) vào (2) ta đc:                    2 2   2   2 4   2   4   2 2 1   2   2   2   1 4   2   1   4   4   1 3   3 3   2 4   3   3 2  y   y   y y   y   y   y y   x y y   x                                                            1.0 Câu II  1   2   3   4   n  n   n   n   n S   2.1C   3.2C   4.3C   ...   n(n   1)C                  S    1.0  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2    TRƯỜNG  NĂM HỌC 2018 – 2019  Môn thi : Toán – Lớp 11   

Đề thi HSG Toán 11 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

1  SỞ GD&ĐT NGHỆ AN   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP   11   CẤP TH PT  NĂM HỌC 201 8      201 9  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC  Môn: TOÁN      BẢNG A  (Hướng dẫn chấm này gồm   0 6   trang)  Câu        1 .  ( 7 ,0đ)   a)   ( 4 ,0 điểm)   Giải phương trình     cos 2   7cos   3 sin 2   7sin   8. x   x   x   x             (1)           (1)   cos 2   3sin 2   7 cos   3 sin   8 x   x   x   x               0,5 cos 2   7sin   4   0 3   6  x   x                                                   1,0 2 2  1   2sin   7sin   4   0 6   6 2sin   7sin   3   0 6   6  x   x x   x                                                                                                      1,0 1 sin   6   2 sin   3 (   ) 6  x x   ptvn                                                   0,5      2 . 2   2 3  x   k k x   k                       0,5  Vậy phương trình có nghiệm 2 , x   k    2   2   ,   . 3  x   k   k               0,5  b) ( 3 ,0 điểm)   Giải hệ phương trình            2   2 3   2   2   2  2   2   1   1   (1)   ,   . 3   2   6   2   2   0   (2)  x   x   x   y   y   x y x   x   y   x   y                                                   2  2   2   0 x   y          .        2   2  1   (   1   )   1   1   1   0 x   y   x   y                            0,5          2   2 2   2  (   1   )(   1   ) (   1   )   0 1   1   1 1 (   1   ) 1   0 1   1   1  x   y   x   y x   y x   y x   y x   y x   y                                                                                  2   2  1   0 1 1   0 1   1   1  x   y x   y x   y                                    0,5

Đề thi HSG tỉnh Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)

Câu 1. (2,0    m)   Cho hàm s        1   2   3 y   m   x   m             có đồ   th    là đườ ng th  ng   d   . Tìm   m       ng th  ng   d   c  t tr  c   , Ox Oy   t  m   A   và   B   sao cho tam giác   OAB   cân.  Câu 2. (4,5    m)  1) Gi   2   2   3 4 sin   3 cos 2   1   2 cos 2   4   0 2 c   3   1 os  x   x x x                                     . 2) Gi  i h    phương trình       3   2   3 3   2   3   2 2 3   5   2   5   3   5   2   5  x   xy   x   y   y x   y   x   x   y   x   y                                             .  Câu 3. (4,0    m)  1) Tìm   a              2 3   1   3   khi   1 1 2   khi   1 4  x   x   x x f   x   a   x   x                                     liên tục tại điểm   1 x      . 2) Cho dãy s        n u   xác đị nh b  i   1 1   2   1 2 2019;   2020;   ,   2, 3  n   n n u   u u   u   u   n   n                      . Tính   lim   n u   .  Câu 4. (2,5    m)   Trong m  t ph  ng v  i h    t    Oxy   , cho hình vuông   ABCD   có tâm   I   . Trung điể m c  nh   AB   là   (0; 3) M   , trung điểm đoạ n   CI   là   (1; 0) J   . Tìm t    các đỉ nh c  a hình vuông, bi  nh   D thu  ng th  ng   :   1   0 x   y             .  Câu 5. (4,0    m)  1) Cho hình chóp   . S ABCD   ,   có đáy   ABCD   là hình ch    nh  t v  i   3, AB   a   BC   a       và  2 SA   SB   SC   SD   a             . G  i   K   là hình chi  u vuông góc c  a   B   trên   AC   và   H   là hình chi  u vuông góc c  a   K   trên   SA .  a) Tính độ   dài đoạ n   HK   theo   . a b) G  i   I   là giao điể m c  ng th  ng   , HK SO   . M  t ph  ng          di độ ng,   luôn đi qua   I   và c  t  các đoạ n th  ng   ,   ,   , SA SB SC SD   l  t t  i   ,   ,   , A B C   D             . Tìm giá tr    nh    nh  t c  a   .   .   . P   SA SB SC SD              . 2) Cho t    di  u   ABCD   có đườ ng cao   AH   . M  t ph  ng       P   ch  a   AH   c  t ba c  nh   ,   , BC CD  BD   l  t t  i   ,   , M N P   ; g  i   ;   ;    là góc h  p b  i   ;   ; AM AN AP   v  i m  t ph  ng     BCD   . Ch  ng minh r  ng   2   2   2 tan   tan   tan   12                 .  Câu 6. (3,0    m)  1) Cho tam th  c      2  f   x   x   bx   c          . Ch  ng minh r  ng n     f   x   x    có hai nghi  m phân bi  t và   2   2   3   4 b   b   c          thì phương trình    f   f   x   x               có b  n nghi  m phân bi  t. 2) Cho   , , a b c   là các s    th  i th  a mãn   2 (   ) a   b   c   ab          . Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c  2 2 2   2  ab   c   c P   a   b   a   b   c a   b                                          . 3) L  p   11   Toán có   34   h  c sinh tham gia ki    ch  i tuy  n d    thi h  c sinh gi  i c  p t  nh . Đề   ki  m tra g  m   5   bài toán. Bi  t r  ng m  i bài toán thì có ít nh  t   19   h  c sinh gi  c. Ch  ng minh r  ng có   2   h  c sinh sao cho m  c m  t trong hai h  c sinh này gi  c. ----------------- H  t -----------------  H    và tên thí sinh :....................................................... S    báo danh .............................  UBND T  NH B  C NINH  S    GIÁO D  O  (Đ    thi có   01 trang)      THI CH     P T   NĂM HỌ C 2018 – 2019  Môn thi : T oán – L  p 11  Th  i gian làm bài :   150 phút   (không k    th  )     CHÍNH TH  CUBND T  NH B  C NINH  S    GIÁO D  O  HƯ     THI CHỌ N H  C SINH GI  I C  NH  NĂM HỌ C 2018 - 2019  Môn : T oán – L  p 11 Câu   Lời giải sơ lược    1. (2,0     Ta có   d   c  t tr  c   Ox   t  m   2   3 ; 0 1  m A   m                                (điề u ki  n   1 m      )  d   c  t tr  c   Oy   t  m       0;   2   3 B   m     0,5  Khi đó   OAB    vuông t  i   O   nên   OAB    cân t  i   O   2   3   2   3 1  m OA   OB   m m                   0,5  3 2 2   3   0   2 1   1   0  m m   m m   m                                         .   0,5  V  i   3 2  m      ta có ba điể m   ,   , A B O   trùng nhau (Lo  ng h  p còn l  i th  a mãn. V  y   0;   2 m   m       là các giá tr    c  n tìm. 0,5  Chú ý:  +   H  c sinh thi  u ki  n   1 m      tr    0,25 điể m. + N  u h  c sinh thi  u d  u tr    tuy  i      bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra đượ c  2 m      cho 1,25 điể m. + N  u h  c sinh thi  u d  u tr    tuy  i      bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra đượ c  3 2;   2  m   m       cho 1,0 điể m .  CÁCH 2:   H  c sinh có th    gi  i theo cách ng    ( v  m t  )  Vì   d   c  t tr  c   , Ox Oy   l  t t  i   , A B   sao cho   OAB    vuông cân t  i   O   nên   d   có h    s    góc  k   , v  i   tan 45   1 1 tan 135  k   k k k                                Mặ t khác theo gi    thi  t   d   có h    s    góc   1 k   m       .  Do đó   1   1   0 1   0   2  m   m m   m                                      .  2 .1 ( 2, 25      u ki  n:   1 cos 3   2  x      0,25  Ta có: phương trình đã cho tương đương vớ i  2   2   3 4 sin   3 cos 2   1   2 cos 2   4  x   x   x                                     2   2   3 cos 2   2   sin 2 cos   co 2   3 cos 2   si   2 s   n x   x x   x   x   x                       0,75      cos 2   cos 6  x   x                                              5   2 18   3 7   2 6  k k k x x                           0,75

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh

1 S   C VÀ ĐÀO T    C  M   TRƯ  NG   THPT   THANH XUÂN -  C  U GI  Y - THƯ  NG TÍN      OLYMPIC   MÔN   TOÁN 1 1  NĂM H  C 2018      2019  Môn: Toán  Th  i gian:   12 0 phút (Không k    th  i gian phát đ  )  Câu 1.   Gi   1) 1   3 sin 2   cos 2 x   x       . 2) 9sin   6cos   3sin 2   cos2   8 x   x   x   x             .  Câu 2.   1)   Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cầ n g  i b  n, m   H  i Hoa có bao nhiêu cách ch  i bì  thư để   g   2) M  t bài thi tr  c nghi  m khách quan g  m 5 câu h  i, m    l  có 1 phương án trả   l    m  t h  c sinh làm bài thi tr    l  i   c ít nh  t 3 câu h  i?  Câu 3.   Tìm h    s    c  a s    h  ng ch  a 10  x   trong khai tri  a bi  u th  c     2   3   n  x    bi  t n   là s   nguyên dương thỏ a mãn h    th  c 1   2   20 2   1   2   1   2   1 ...   2   1 n n   n   n C   C   C                       .  Câu 4.   1)   Tính giới hạn sau 2 3 1  7   5 lim   1 x  x   x x             . 2) Cho tam giác ABC   có độ dài 3   cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác  0  60   .  Câu 5.   Cho t    di  n ABCD   . 1) G  i ,   , E F G   l  t là tr  ng tâm các tam giác ,   , ABC ACD ABD   . a) Ch  ng minh           / / EFG   BCD   . b) Tính di  n tích tam giác EFG   theo di  n tích c  a tam giác BCD   . 2) M   là điể m thu  c mi  n trong c  a tam giác BCD   . K    qua M    ng th  ng // d   AB   . a)   Xác định giao điể m B    c  ng th  ng d   và m  t ph  ng     ACD   . b) K    qua M   các đườ ng th  ng l  t song song v  i AC   và AD   c  t các m  t ph  ng        , ABD   ABC  theo th    t    t  i , C   D       . Ch  ng minh r  ng: 1  MB   MC   MD AB   AC   AD                  . c) Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c AB   AC   AD T   MB   MC   MD                  . ----------------H  T-----------------     Thí sinh không đượ c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay.     Giám th    coi thi không gi  i thích gì thêm.  H    và tên thí   sinh:............................................................  S    báo   danh:..................................................................2  HƯỚ NG D  N GI  I CHI TI  T Câu 1.   Gi   1) 1   3 sin 2   cos 2 x   x      2) 9sin   6cos   3sin 2   cos2   8 x   x   x   x            L  i gi  i  1) 1   3 sin 2   cos 2 x   x     3 sin 2   cos 2   1 x   x        3   1   1 sin 2   cos 2 2   2   2  x   x        1 cos   sin 2   sin   cos 2 6   6   2  x   x           2   2 1   6   6 sin   2   sin 6   2   6   2   2 6   6  x   k x x   k                                                                                             2 3  x   k x   k                   . 2) 9sin   6cos   3sin 2   cos2   8 x   x   x   x                     6cos   3sin 2   cos 2   9sin   8   0 x   x   x   x                           2  6cos   6sin   cos   1   2sin   9sin   8   0 x   x   x   x   x                              2  6cos . 1   sin   2sin   9sin   7   0 x   x   x   x                              6cos . 1   sin   2sin   7   sin   1   0 x   x   x   x                        sin   1   6cos   2sin   7   0 x   x   x                   sin   1   2 2 6 cos   2sin   7 *  x   x   k x   x                              Phương trình  *   vô nghi  m vì có 2   2   2  40   49 a   b   c             . V  m là 2 2  x   k            .  Câu 2.   1)   Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cầ n g  i b  n, m  i 1  thư. Hỏ i Hoa có bao nhiêu cách ch    i  bì thư để   g   2)   M  t bài thi tr  c nghi  m khách quan g  m 5 câu h  i, m    l  i, trong     l    m  t h  c sinh làm bài thi tr   l  c ít nh  t 3 câu h  i?  L  i gi  i  1)   Ch    11 bì thư có 4 11 C   cách. Ch  n 4 tem   thư từ   7 tem   thư có 4 7 C   cách.  Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừ a ch  n có: 4!   cách. G  i b  n có: 4! Cách. V  y có t  t c  : 4   4 11   7 .   .4!.4!   6652800 C   C      cách. 2)   Xác su    m  t h  c sinh tr    l  1 4   , tr    l  i sai 1 câu là 3 4   . Xác su    m  t h  c sinh tr    l  3   2 3 5  1   3   45 .   4   4   1024  C                             .

Đề Olympic Toán 11 năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân & Cầu Giấy & Thường Tín – Hà Nội

S    GIÁO D  C VÀ ĐÀO T  O  THANH HÓA      THI CHÍNH TH  C  S    báo danh...............  K    THI CH  N H  C SINH GI  I C  P T  NH  NĂM H  C 2018      2019  Môn thi:   TOÁN      L  p 11 THPT  Th  i gian làm bài: 180 phút (Không k    th  i gian giao đ  )  Ngày thi:   21 tháng 3 năm 2019  (     thi có 01   trang, g  m 5 câu )  Câu I   ( 4,0 điể m ) 1. L  p b  ng bi  n thiên và v       th    (P) c  a hàm s    y = x 2    2mx + 3, bi  t r  ng (P) có tr  i x  ng là x = 2. 2. Gi  2  2   7   2   1   8   7   1                          x   x   x   x   x   .  Câu II   ( 4,0 điể m ) 1. Gi  2sin 2   cos 2   7sin   4   3   1 2cos   3                 x   x   x x   . 2. Gi  i h    phương trình:                 3   2   2 2 2   2   2  4   4   1   5   4   1 2   3   3   6   7   1   1   3   2                                                           y   y   y   x   y   y   x x   x   x   y   x   y   x   ( ,    x y   ).  Câu III   ( 4,0 điể m ) 1. Cho ba s    dương x, y, z thỏ a mãn:     2 2   2   2   1 4   4   2   2 2               x   y   z   x   y   z   . Tìm giá tr    l  n nh  t c  a bi  u th  c:         3   3   3  8   8 2   2   4   2   2                    x   y   z P   x   y   z   xy   yz   zx  . 2. Cho dãy s    xác đị nh b  i: 1 * 1  2 4   3.4 ,                  n n   n  u u   u   n   . Tìm s    h  ng t  ng quát u n   và tính gi  i h  n 2  2   3   1 lim        n  n   n u   .  Câu IV   ( 4,0 điể m ) 1. Có bao nhiêu s    t    nhiên có 8 ch    s    khác nhau mà có m  t hai ch    l    và ba ch    s    ch  i ch    s   ch  n có m  n?. 2. Trong h    t    Oxy, cho tam giác ABC n  i ti  ng tròn (C) tâm I, tr  ng tâm 8 ;0 3               G   , các điể m           0;1 ,   4;1 M   N  l  i x  ng v  m     2;   1  K   thu  ng th  ng BC. Vi  trình đườ ng tròn (C).  Câu V   ( 4,0 điể m ) 1. Cho hình chóp   S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Mộ t m  t ph  ng không qua S c  t các c  nh SA, SB, SC, SD l  t t  i M, N, P, Q th  a mãn: 2   ,   3     SA   SM SC   SP   . Tính t    s  SB SN   khi bi  u th  c 2 2  4                                  SB   SD T   SN   SQ   t giá tr    nh    nh  t.  2. Cho hình lăng trụ   ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . M  t m  t ph  ng (    )   thay đổ i và luôn song song v  n AB 1 , BC 1 , CD 1 , DA 1   l  t t  nh v    trí c  a mp(    ) sao cho di  n tích MNPQ nh    nh  t.  ...HẾT...Hướ ng d  n gi    thi HSG Thanh Hóa ngày 21/3 năm 2019  Câu I.2.   Gi  i PT: 2  x   2   7   x   2   x   1   x   8x   7   1                            .   t 2   2  7   x   u   0;   x   1   v   0   u   v   6                            ta có pt:           2  v   1   2u   2v   1   uv   2 u   v   v u   v                          v   2 v   u   3            x   5 x   4          (th  a mãn). V  y t  p nghi  m     S   4;5    .  Câu II. 1.   Gi  2sin 2x   cos 2x   7sin x   4   3   1 2cos x   3                  .   2cos x   3   0      T    pt       2  2sin 2x   cos 2x   7sin x   4   2cos x   2cos x 2sinx   1   2sin x   7sin x   3   0                                        1   1 sinx   sinx 2sinx   1   2cos x   sin x   3   0   2   2 2cos x   sin x   3   cos x   sin x   1(loai)                                                1 sinx   x   k2 2   6                    (lo  i nghi  m 5 x   k2 6            ).   KL : nghi  m c  a pt là x   k2 6            .  Câu II. 2.   Gi  i h    phương trình:                 3   2   2 2 2   2   2  y   4y   4y   x   1 y   5y   4   x   1 2   x   3x   3   6x   7   y   x   1   y   1   3x   2                                                            .   2 x   3     . T    pt đầu tương đương:                 2   2  y y   2   y   2   x   1   x   1   x   1   y                                 2   y   x   1 y   x   1   y   2   x   1   0   y   x   1 y   2   x   1   0                                                               (lo  i nghi  m x = -1, y = 2) Th  2  y   x   1       (y > 0) vào pt th    hai thì đượ c:                     2 2  2   x   3x   3   2   3x   2   x   3x   2   x   1   x   1   3x   3                                                       2   2 2  x   3x   2 2   3x   2   3x   2   x   x   1   x   1   3 x   1 x   3x   3   2                                        

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Thanh Hóa

1  Câu 1.   Xét ph  ng trình:   (   ) (   ) s in   os   sin 2   3   sin 2   os2   1   0  2sin   2  x   c   x   x   x   c   x x              +   =     (1)   K  2 2   4  sin   ( ,   )  3 2   2 4  x   k  x   k l   Z  x   l                 +                  +     Khi      ng trình   (   ) (   ) (1)   s in   os   sin 2   3   sin 2   os2   1   0 x   c   x   x   x   c   x                +   =  (   ) (   )   2  s in   os   sin 2   3   2sin   .   2sin   0 x   c   x   x   x cosx   x             +   =  (   ) (   ) s in   os   sin 2   3   2sin   (s in   )   0 x   c   x   x   x   x   cosx          +      =  (   )(   )   s in   os   0   (2)  s in   os   sin 2   2sin   3   0   sin 2   2 sin   3   0 (3)  x   c   x x   c   x   x   x   x   x     =         +      =         +      =   PT   (2)   sin(   )   0  4   4  x   x   k             =      =   +   ,    i chi  u    i  u ki  n ta có   5   2   (   )  4  x   k   k      =   +         . PT   sin2 =1  (3)   sin2 +2sin   3   (   )  sin   1  x  x   x   vn  x       =         =   V  y   5   2   (   )  4  x   k   k      =   +         .  5   5  ( 2018   ; 2019   )   2018   2   2019   2018   2   2019  4   4  x   k   k                 <   +   <      <   +   <  Do   k         nên   {   1009,   1008,....,1008} k            suy ra có 2018 nghi  m.  Câu 1b.   Tính   (   ) 3   2   2 3  lim   2   1   4   2   3  x  x   x   x   x   mx    +   +      +   +   +  N  u   3 m   = −   thì   (   ) 3   2   2 3  lim   2   1   4   2   3  x  x   x   x   x   mx    +   +      +   +   +  (   ) 3   2   2 3  lim   (   2   1   )   (   4   2   3   2 )  x  x   x   x   x   x   x    =   +   +         +   +   +  Ta có   (   )   2 3   2 3 3   2   2   3   2   2   2 3   3  2   1   2  lim   2   1   lim   3 (   2   1)   (   2   1) x   x  x x   x   x   x   x   x   x   x   x      +  +   +      =   =  +   +   +   +   +   +  (   ) 2 2  2   3   1  lim   4   2   3   2   lim   2 4   2   3   2 x   x  x x   x   x   x   x   x      +     +   +   +   =   = +   +     Suy ra   (   ) 3   2   2 3   7  lim   2   1   4   2   3   6 x   x   x   x   x   mx     +   +      +   +   +   =  N  u   3 m   < −   thì   (   ) 3   2   2 3  lim   2   1   4   2   3  x  x   x   x   x   mx    +   +      +   +   +  (   ) 3   2   2 3  lim   (   2   1   )   (   4   2   3   2 )   (   3)  x  x   x   x   x   x   x   m   x    =   +   +         +   +   +   +   +   = +∞  N  u   3 m   > −   thì   (   ) 3   2   2 3  lim   2   1   4   2   3  x  x   x   x   x   mx    +   +      +   +   +  (   ) 3   2   2 3  lim   (   2   1   )   (   4   2   3   2 )   (   3)  x  x   x   x   x   x   x   m   x    =   +   +         +   +   +   +   +   = −∞  Câu 2a.   Theo gi    thi  t ta có  2   1   3   1  2   1   3   1  4   ;   14   4   14  n   n   n   n  n   n   n   n  C   C   C   C  C   C   d   C   C   d       =   +   =   +      =  2   1   3   1   3   2   1  7(   )   2(   )   2   7   5   0 n   n   n   n   n   n   n C   C   C   C   C   C   C       =            +   =

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Ngãi

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ   KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11  TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ   Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019  Môn thi: Toán lớp 11  Th  i gian làm bài: 180 phút, không k    th  i gian giao     Câu I (5,0 điểm). 1.   Giải phương trình:   2   2 sin 3 cos 2   sin   0. x   x   x      2.   Cho   1  x   và   2  x   là hai nghiệm của phương trình:   2   3   0 x   x   a          ,   3 x   và   4 x   là hai nghiệm của phương trình:   2   12   0 x   x   b          . Biết rằng   1   2   3   4 ,   ,   , x   x   x   x   theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm   , a b   .  Câu II (3,0 điểm). 1.   Cho   k   là số tự nhiên thỏa mãn:   5   2014 k       . Chứng minh rằng:   0   1   1   5   5 5   2014   5   2014   5   2014   2019 ... k   k   k   k C C   C C   C C   C                 .  2.   Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:      2   2   4   2   2 1   1   2   2 1   1   1 m   x   x   x   x   x                               .  Câu III (3,0 điểm).  Cho dãy số       n u      1   1   2 sin sin1;   n   n n u   u   u   n            , với   ,   2 n   n           . Chứng minh rằng dãy số       n u   xác định như trên là một dãy số bị chặn.  Câu IV (3,0 điểm).   Cho tứ diện   A BCD   có tam giác   A BC      a   và tam giác   BCD   cân tại   D   với   5 2  a DC      .  1.   Chứng minh rằng:   A D   BC    .  2.   Gọi   G   là trọng tâm tam giác   BCD   , tính cosin góc giữa hai đường thẳng   A G   và   CD   , biết góc giữa hai mặt phẳng   (   ) A BC   và   (   ) BCD   bằng   0 30   .  Câu V (3,0 điểm).   Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy   , cho tam giác   A BC   với   (2;1) A   ,   (1;   2) B      , trọng tâm   G   của tam giác nằm trên đường thẳng   2   0 x   y          . Tìm tọa độ đỉnh   C   biết diện tích tam giác  ABC   bằng   27 2   .  Câu VI (3,0 điểm).   Cho các số dương   , , a b c   thỏa mãn:   2   2   2   3 a   b   c          . Chứng minh rằng:      2 2   2   2   2   2   2 4   4   4 1   1   1   3   a   b   c a   b   b   c   c   a                                                         . Đẳng thức xảy ra khi nào?  -----------------HẾT---------------------  Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và MTCT. Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm.  Họ và tên thí sinh: ..................................... Số báo danh: ...................    (Đề có 01 trang)Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu   Nội dung    Câu I. (5đ)  Giải phương trình:   2   2 sin 3   cos 2   sin   0. x   x   x      1. (3đ)   2   2 sin 3   cos 2   sin   0 x   x   x       (1) Ta có:   sin 3   (1   2 cos 2 ) s inx. x   x      2   2 2   2 (1)   ((1   2 cos 2 ) cos2   1) sin   0 (1   os2x)(1+4cos 2 ) sin   0 sin   0 cos2x=-1   2  x   x   x c   x   x x   k x                                1.0đ 1.0đ 1.0đ 2. (2đ)   Cho   1 x   và   2 x   là hai nghiệm của phương trình:   2   3   0 x   x   a          ,   3 x   và   4 x   là hai nghiệm của phương trình:   2   12   0 x   x   b          . Biết rằng   1   2   3   4 ,   ,   , x   x   x   x   theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm   , a b   .  Gọi q là công bội của CSN   2   3 2   1   3   1   4   1 ;   ; x   x q x   x q   x   x q            Theo viet ta có: 1 1   2 1   2 1   2 2 3   4   1 3   4   3   4 (1   )   3 3 12   (1   )   12  x   q x   x x x   a x x   a x   x   x q   q x x   b   x x   b                                                          Suy ra   2   4 q     + q = 2   1   1 x       , giải ra được a = 2, b = 32 +q = -2   1   3 x       , giải ra được a = -18, b = -288  1.0đ 1.0đ Câu II. (3đ)  1. (1.5đ)   Cho k là số tự nhiên thỏa mãn:   5   2014 k      Chứng minh rằng:   0   1   1   5   5 5   2014   5   2014   5   2014   2019 ... k   k   k   k C C   C C   C C   C                Ta có:   5   2014   2019 (1   ) (1   )   (1   ) x   x   x            5   0   1   2   2   3   3   4   4   5   5 5   5   5   5   5   5 2014   0   1   2013   2013   2014   2014 2014   2014   2014   2014   2014 2019   0   1   2018   2018   2019   2019 2019   2019   2019   2019   2019 (1   ) (1   )   ...   ... (1   )   ...   ...  k   k k   k M   x   C   C x   C x   C x   C x   C x N   x   C   C   x   C   x   C   x   C   x P   x   C   C   x   C   x   C   x   C   x                                                                           Ta có hệ số của x k   trong P là   2019  k C   , P = M.N Mà số hạng chứa x   k   trong M.N là : 0   1   1   1   2   2   2   2   3   3   3   3   4   4   4   4   5   5   5   5 5   2014   5   2014   5   2014   5   2014   5   2014   5   2014  k   k   k   k   k   k   k   k   k   k   k   k C C   x   C xC   x   C x C   x   C x C   x   C x C   x   C x C   x                                           Vậy :   0   1   1   5   5 5   2014   5   2014   5   2014   2019 ... k   k   k   k C C   C C   C C   C                0.5đ 0.5đ 0.5đ 2. (1.5đ)   Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:      2   2   4   2   2 1   1   2   2 1   1   1 m   x   x   x   x   x                                 1   1 x          , Đặt   2   2 1   1 t   x   x             , t liên tục trên       1;1    và   0 t     2   4 2   2 1   2   0;   2 t   x   t                              Pttt:   2 2   2 (   2)   2   2  t   t m t   t   t   m   t                             Xét   2   2 ( )   ;   0;   2 2  t   t f t   t t                         ,   ( ) f   t   liên tục trên   0;   2               2 2 4 '( )   0,   0;   2 (   2)  t   t f   t   t t               0.5đ 0.5đ

Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Thị xã Quảng Trị

Đề thi học sinh giỏi Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam

Đề thi chọn HSG Toán 11 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

(    thi g  m 01 trang)  KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019   Th  i gian: 180 phút (Không k    th  i gian giao    ) Ngày thi: 20/4/2019  Câu 1 (4 điểm).   Cho dãy số     1 ) (   n n u   bị chặn trên và thoả mãn điều kiện  2   1 2   3 .   .   , 5   5  n   n   n u   u   u           1, 2, 3,... n      Chứng minh rẳng dãy       n u   có giới hạn hữu hạn.  Câu 2 (4 điểm).   Cho   A BC    có đường tròn nội tiếp       I   tiếp xúc với   ,   , B C   CA   AB      ,   ,   . D   E   F     A   song song   BC   cắt   , DE   DF   lần lượt tại   ,   . M   N     DMN   cắt đường tròn       I   tại điểm   L   khác   . D a) Chứng minh   ,   , A   K   L   thẳng hàng. b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác   DMN   tại   , M   N   cắt   E F   tại   ,   . U V   Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác   UVL   tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác   . DMN  Câu 3   (4 điểm).   Tìm tất cả các đa thức   sao cho với mọi số   nguyên dương, phương trình   có nghiệm nguyên.  Câu 4 (4 điểm).   Cho   p   là số nguyên tố có dạng   12   11 k      . Một tập con   S   của tập {1; 2; 3;   ;   2;   1} M   p   p                nếu như tích của tất cả các phần tử của   S   không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của   \   . M   S   Ký hiệu   S    hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia   S    cho   p xét trên mọi tập con tốt của   M   có chứa đúng   1 2  p      phần tử.  Câu 5 (4 điểm).   Cho đa giác lồi   n đỉnh       0   1   1 ...   2 . n A A   A   n       Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác  màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.  -------------- HẾT --------------  (Thí sinh không    c s    d  ng tài li  u và máy tính c  m tay Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm)  Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................  Câu   Nội dung trình bày    1     Cho dãy số     1 ) (   n n u   bị chặn trên và thoả mãn điều kiện  2   1 2   3 .   .   , 5   5  n   n   n u   u   u           1, 2, 3,... n      Chứng minh rẳng dãy       n u   có giới hạn hữu hạn.  4,0  Ta có   n n n   u u u   5 3 5 2   1 2              2   1   1 3   3   , 5   5  n   n   n   n u   u   u   u                 1, 2,3,... n       (1)    n v   1 3   , 5  n   n u   u        1, 2,3,... n       thì từ (1) ta có   n n   v v     1   ,   1, 2,3,... n       (2)  1,0  Vì dãy số     1 ) (   n n u   bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho   , n u   M    1, 2,3,... n       suy ra 3   8   , 5   5  n v   M   M   M          1, 2,3,... n       (3) Từ (2) và (3) ta thấy dãy   ) (   n v   không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ.  0,5     a v   n    lim   và   8 5 a b      . Ta sẽ chứng minh   . lim   b u   n     Thật vậy, vì   a v   n    lim   nên   0      nhỏ tùy ý,   * 0   N n       sao cho   , 5  n v   a          0   . n   n      Khi đó, nhờ có đánh giá 1   1   1 3   3   3   8 (   )   (   )   , 5   5   5   5   5  n   n   n   n   n   n b u   b   u   b   u   b   u   b   u   u                                           ta thu được 1 3   , 5   5  n   n u   b   u   b                   0 n n      1,0  Từ sự kiện này ta suy ra 0   0 1 3   ; 5   5  n   n u   b   u   b                  0   0   0 2 2   1 3   3   3 .   ; 5   5   5 5   5  n   n   u u   b   u   b   u   b                                              .......... 0   0 1   2 3   3   3   3 ....   1 . 5   5   5   5   5  k   k   k n   k   u u   b   u   b                                                                                                 hay  1,0